정삼각형에 내접하는 원의 넓이 구하기 – 공식 유도부터 예제 코드까지

정삼각형에 내접하는 원의 넓이란?

한 변의 길이가 a인 정삼각형에 내접하는 원의 넓이는 다음 수학 공식으로 간단히 구할 수 있습니다.

원의 넓이 = πa²/12

이번 글에서는 이 공식이 어떻게 유도되는지 단계별로 자세히 살펴보겠습니다.

내접원 반지름 공식 유도하기

정삼각형에 내접하는 원의 반지름은 다음 공식으로 구할 수 있습니다.

내접원의 반지름 = 삼각형의 넓이 ÷ 삼각형의 반둘레(semi-perimeter)

먼저 공식에 필요한 두 값을 구해 보겠습니다.

• 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이 = (√3)a²/4
• 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 반둘레 = 3a/2

이 값을 위 공식에 대입하면 다음과 같습니다.

원의 반지름 r = [(√3)a²/4] ÷ (3a/2) = a/(2√3)

이제 구한 반지름을 원의 넓이 공식에 적용합니다.

원의 넓이 = πr² = π(a/(2√3))² = πa²/12

따라서 한 변의 길이가 a인 정삼각형에 내접하는 원의 넓이는 항상 πa²/12임을 알 수 있습니다.

C언어 예제 코드

다음은 위 공식을 활용해 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 계산하는 C언어 예제 코드입니다.

#include <stdio.h>
int main(void) {
    int a = 5;
    float pie = 3.14;
    float area = (float)((pie*a*a)/12);
    printf("한 변의 길이가 %d인 정삼각형에 내접하는 원의 넓이는 %f입니다", a, area);
    return 0;
}

실행 결과

한 변의 길이가 5인 정삼각형에 내접하는 원의 넓이는 6.541667입니다

위 코드에서는 한 변의 길이 a를 5로 설정한 뒤, 공식 πa²/12에 대입하여 결과를 출력합니다. 실행해 보면 약 6.541667이라는 값이 출력되는 것을 확인할 수 있습니다.