직각삼각형 외접원의 넓이 구하는 방법: 공식 유도부터 예제 코드까지

직각삼각형의 빗변(H)만 알고 있을 때, 그 삼각형의 외접원(circumcircle)의 넓이는 아래 공식으로 간단하게 구할 수 있습니다.

외접원의 넓이 = πH²/4

공식의 유도 원리

이 공식은 외접원이 삼각형의 세 꼭짓점에 모두 닿는다는 성질에서 유도됩니다. 특히 직각삼각형에서는 원의 중심을 지나면서 두 꼭짓점을 연결하는 가장 긴 선분, 즉 지름이 바로 빗변과 일치합니다.

이는 탈레스 정리(Thales' theorem)와 관련이 있는데, 원의 지름에 대한 내각은 항상 직각이므로 직각삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원에서 반드시 빗변이 지름이 됩니다.

따라서 일반적인 원의 넓이 공식 πd²/4(단, d = 2r)에서 지름 d 대신 빗변 H를 대입하면 외접원의 넓이를 구할 수 있는 것입니다.

계산 예시

• 빗변(H) = 8
• 외접원의 넓이 = π × 8² / 4 ≈ 50.26

예제 코드 (C 언어)

#include <stdio.h>
int main(void) {
    int H = 14;
    float pie = 3.14;
    float area = (float)((pie*H*H)/4);
    printf("the area of circumcircle of a right angled triangle of Hypotenuse %d is %f",H,area);
    return 0;
}

실행 결과

the area of circumcircle of a right angled triangle of Hypotenuse 14 is 153.860016

위 코드처럼 빗변 값만 입력하면 공식에 따라 외접원의 넓이를 손쉽게 계산할 수 있습니다. 빗변 14를 대입한 경우 π × 14² / 4 ≈ 153.86이라는 결과가 출력되는 것을 확인할 수 있습니다.