직각삼각형에 내접하는 정사각형 안에서 가장 큰 를로 삼각형의 넓이 구하기

를로 삼각형(Reuleaux Triangle)이란?

를로 삼각형은 세 개의 원판이 서로 겹쳐져 만들어지는 도형으로, 각 원의 중심은 다른 두 원의 경계 위에 위치합니다. 이 도형의 경계는 일정한 폭을 가진 곡선으로, 원 자체를 제외하면 가장 단순하면서도 널리 알려진 곡선입니다. 여기서 '일정한 폭'이라는 것은 임의의 두 평행 지지선 사이의 거리가 방향에 관계없이 항상 동일하다는 의미입니다. 즉, 모든 지름의 길이가 같습니다.

를로 삼각형의 경계는 정삼각형을 기반으로 하는 일정 폭 곡선입니다. 한 변 위의 모든 점은 반대쪽 꼭짓점으로부터 항상 같은 거리에 위치합니다.

를로 삼각형의 넓이 공식

를로 삼각형은 다음과 같은 과정으로 작도할 수 있습니다.

정삼각형을 기반으로 하고, 삼각형의 한 변의 길이가 h일 때 를로 삼각형의 넓이는 다음과 같습니다.

A = (π × h2) / 2 – 2 × (정삼각형의 넓이)
= (π – √3) × h2 / 2
= 0.70477 × h2

직각삼각형에 내접하는 정사각형 안에서의 최대 를로 삼각형

문제: 직각삼각형에 내접하는 정사각형 안에 그릴 수 있는 가장 큰 를로 삼각형의 넓이를 구해야 합니다.

위 그림에서 직각삼각형에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이는 다음과 같습니다.

a = (l × b) / (l + b)

정사각형 안에서의 최대 를로 삼각형

를로 삼각형의 넓이는 0.70477 × b² 입니다. 여기서 b는 를로 삼각형을 지지하는 두 평행선 사이의 거리를 의미합니다.

그리고 를로 삼각형을 지지하는 평행선 사이의 거리는 정사각형의 한 변의 길이, 즉 a와 같으므로,

를로 삼각형의 넓이는 A = 0.70477 × a² 로 표현할 수 있습니다.

예시 입력 및 출력

개념을 더 쉽게 이해하기 위해 예시를 살펴보겠습니다.

입력: l = 3, b = 4, h = 5
출력: 2.07116

풀이 설명

직각삼각형에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이는 a = (l×b)/(l+b) 이며,

를로 삼각형에서는 x = a, 즉 x = (l×b)/(l+b) 입니다.

따라서 를로 삼각형의 넓이는 다음과 같이 계산됩니다.

A = 0.70477 × x² = 0.70477 × ((l×b)/(l+b))²

C 언어 구현 예제

#include <stdio.h>
#include<math.h>
int main() {
   float l = 3, b = 4;
   float x = (l * b) / (l + b);
   float area = 0.70477 * pow(x, 2);
   printf("넓이 : %f", area);
   return 0;
}

실행 결과

넓이 : 2.071161