C언어로 구하는 원에 내접한 정사각형 안의 최대 를로 삼각형 넓이

를로 삼각형(Reuleaux Triangle)이란?

를로 삼각형은 세 개의 원판이 서로 겹쳐져 만들어지는 도형으로, 각 원의 중심은 다른 두 원의 경계 위에 위치합니다. 이 도형의 경계는 등폭 곡선(constant width curve)으로, 원을 제외하면 가장 단순하면서도 널리 알려진 곡선입니다.

여기서 '등폭'이란 임의의 두 평행한 지지선(supporting line) 사이의 거리가 방향에 상관없이 항상 일정하다는 의미입니다. 즉, 모든 방향의 폭(지름)이 동일하기 때문에 어떤 방향으로 측정해도 너비가 같습니다.

를로 삼각형의 경계는 정삼각형을 기반으로 하는 등폭 곡선입니다. 한 변 위의 모든 점은 반대쪽 꼭짓점까지의 거리가 동일합니다.

를로 삼각형의 넓이 공식

를로 삼각형은 다음과 같은 방법으로 작도할 수 있습니다. 정삼각형을 기준으로 할 때, 한 변의 길이가 h라면 넓이는 아래 공식으로 계산됩니다.

A = (π × h²) / 2 − 2 × (정삼각형의 넓이)
= (π − √3) × h² / 2
= 0.70477 × h²

원에 내접하는 정사각형 안의 최대 를로 삼각형

이제 원 안에 새겨진(내접하는) 정사각형 내부에 들어갈 수 있는 가장 큰 를로 삼각형의 넓이를 구해 보겠습니다.

Fig1. 원에 내접하는 정사각형 안의 최대 를로 삼각형

를로 삼각형의 넓이는 0.70477 × b²이며, 여기서 b는 를로 삼각형을 지지하는 두 평행선 사이의 거리입니다.

이때 평행선 사이의 거리는 정사각형의 한 변의 길이, 즉 a와 같습니다.

따라서 를로 삼각형의 넓이는 A = 0.70477 × a² 입니다.

예시

개념을 더 잘 이해하기 위해 예시를 살펴보겠습니다.

입력: r = 6
출력: 50.7434

풀이 과정

정사각형의 한 변을 a라고 하면,

a√2 = 2r

a = √2r

를로 삼각형에서 h = a = √2r 이므로,

를로 삼각형의 넓이는 A = 0.70477 × h² = 0.70477 × 2 × r² 입니다.

C언어 구현 예제

#include <stdio.h>
#include<math.h>
int main() {
   float r = 6;
   float area = 0.70477 * 2 * pow(r, 2);
   printf("The area is : %f",area);
   return 0;
}

실행 결과

The area is : 50.743439