C로 구하는 반원에 내접하는 직사각형에 내접하는 원의 넓이

문제 개요

반원 안에 직사각형이 내접하고, 그 직사각형 안에 다시 원이 내접하는 중첩 도형에서 가장 안쪽 원의 넓이를 구하는 문제입니다. 각 도형 사이의 기하학적 관계를 단계별로 정리하면, 반원의 반지름 값만으로 최종 원의 넓이를 간단한 공식 하나로 계산할 수 있습니다.

기하학적 관계 정리

직사각형에 내접하는 원: 원은 직사각형의 네 변에 모두 접하며, 원의 지름은 직사각형의 짧은 변(높이)의 길이와 같습니다.

반원에 내접하는 직사각형: 직사각형의 아래 변은 반원의 지름 위에 놓이고, 위쪽 두 꼭짓점은 반원의 호와 두 점에서 만납니다. 넓이가 최대가 되도록 내접시킬 때의 치수는 다음과 같습니다.

주요 공식

반원의 반지름을 R이라 할 때,

• 직사각형의 가로 길이 = √2 × R
• 직사각형의 세로 높이 = R / √2
• 직사각형에 내접하는 가장 큰 원의 반지름: r = 높이 ÷ 2 = R / (2√2)
• 원의 넓이 = π × r² = π × R² / 8

즉, 반원의 반지름 R만 알면 최종적으로 내접하는 원의 넓이는 πR²/8로 바로 구할 수 있습니다.

C 코드 예제

#include <stdio.h>
int main() {
    float a = 5;
    float area = 3.14 * a * a / 8;
    printf("반지름이 %f인 반원에 내접하는 직사각형에 내접하는 원의 넓이는 %f입니다\n", a, area);
    return 0;
}

실행 결과

반지름이 5.000000인 반원에 내접하는 직사각형에 내접하는 원의 넓이는 9.812500입니다

정리

반지름이 5인 반원의 경우, 원의 넓이는 3.14 × 5² ÷ 8 = 9.8125가 됩니다. 복잡해 보이는 중첩 도형 문제도 직사각형의 치수와 내접 원의 반지름 관계를 차례대로 유도하면, 최종적으로는 반지름 하나만으로 답을 구하는 간단한 공식으로 귀결됩니다.