뢸로 삼각형(Reuleaux triangle)은 세 개의 원이 서로 겹치되, 각 원의 중심이 나머지 두 원의 경계 위에 놓이도록 배치했을 때 만들어지는 도형입니다. 뢸로 삼각형의 경계는 일정한 폭(constant width)을 가진 곡선으로, 원을 제외하면 가장 단순하고 널리 알려진 곡선입니다. 여기서 '일정한 폭'이란 도형을 감싸는 두 평행한 지지선 사이의 거리가 방향에 관계없이 항상 같다는 의미이며, 모든 '지름'의 길이가 동일하기 때문에 성립하는 성질입니다.
뢸로 삼각형의 경계는 정삼각형을 기반으로 하는 일정 폭 곡선입니다. 한 변 위의 모든 점은 마주 보는 꼭짓점까지의 거리가 서로 같습니다.
이러한 방식으로 뢸로 삼각형을 작도할 수 있습니다.
뢸로 삼각형의 넓이 공식
정삼각형을 기반으로 하는 뢸로 삼각형에서, 정삼각형의 한 변의 길이가 h일 때 넓이는 다음과 같습니다.
A = (π × h2) / 2 − 2 × (정삼각형의 넓이) = (π − √3) × h2 / 2 ≈ 0.70477 × h2
반원에 내접하는 정사각형 안에 내접하는 가장 큰 뢸로 삼각형
반원에 내접하는 정사각형 안에 가장 큰 뢸로 삼각형을 넣으면 위 그림과 같은 형태가 됩니다.
반원에 내접하는 가장 큰 정사각형은 위 그림처럼 배치됩니다.
반원의 반지름을 r, 정사각형의 한 변의 길이를 a라고 합시다.
직각삼각형 AOB에 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 같습니다.
a2 + (a/2)2 = r2
5 × (a2/4) = r2
a2 = 4r2/5 (이 값이 곧 정사각형의 넓이입니다)
정사각형 안의 가장 큰 뢸로 삼각형
뢸로 삼각형의 넓이는 0.70477 × b2이며, 여기서 b는 뢸로 삼각형을 지지하는 두 평행선 사이의 거리입니다.
이 평행선 사이의 거리는 정사각형의 한 변의 길이, 즉 a와 같습니다.
따라서 뢸로 삼각형의 넓이는 A = 0.70477 × a2 입니다.
Input: x = 5
Output: 14.0954
문제 풀이
반지름이 r인 반원 안에 정사각형이 내접하고, 그 정사각형 안에 다시 뢸로 삼각형이 내접해 있습니다. 이때 뢸로 삼각형이 가질 수 있는 최대 넓이를 구하는 것이 목표입니다.
반원에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이는 a = 2r/√5 입니다.
x = a = 2r/√5
뢸로 삼각형의 넓이는 다음과 같습니다.
A = 0.70477 × x2 = 0.70477 × (4r2/5)
C 코드 예제
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
float r = 5;
float x = (2 * r) / sqrt(5);
float A = 0.70477 * pow(x, 2);
printf("The area is %f", A);
return 0;
}
실행 결과
The area is 14.095401