여행 경로에 N개의 정거장이 있고, 열차는 0번 정거장에서 출발하여 N-1번 정거장(목적지)에 도착한다고 가정해 봅시다. 모든 정거장 쌍 사이의 티켓 요금이 표(행렬) 형태로 주어졌을 때, 주어진 요금만을 사용하여 목적지에 도달하는 최소 비용을 구하는 것이 이 문제의 목표입니다.이 문제는 각 정거장까지 도달하는 최소 비용을 순차적으로 갱신해 나가는 동적 계획법(Dynamic Programming)으로 효율적으로 해결할 수 있습니다.입력 및 출력입력: 여행 경로의 비용 행렬0 15 80 90∞ 0 40 50∞ ∞

문제 개요각 정점 쌍 사이의 가중치가 주어진 방향 그래프(directed graph)가 있고, 두 개의 정점 u와 v가 주어집니다. 우리의 과제는 정확히 k개의 간선을 사용하여 정점 u에서 정점 v까지 이동하는 최단 경로의 거리(가중치 합)를 구하는 것입니다.접근 방법이 문제는 재귀적으로 접근할 수 있습니다. 시작 정점 u에서 출발하여 인접한 모든 정점으로 이동하고, 남은 간선 수를 하나 줄여(k-1) 다시 재귀 호출하는 방식입니다. 이렇게 하면 간선 수가 정확히 k개가 되는 모든 경로를 탐색하면서 그중 가중치의 합이 가장 작은 경

강하게 연결된 그래프란 무엇인가?강하게 연결된 그래프(Strongly Connected Graph)란 방향 그래프(Directed Graph)에서 하나의 컴포넌트(성분) 안에 속한 모든 정점 쌍 사이에 서로 도달 가능한 경로가 존재하는 경우를 말합니다. 즉, 임의의 두 정점 u와 v에 대해 u에서 v로 가는 경로와 v에서 u로 가는 경로가 모두 있어야 합니다.방향 그래프를 강연결 성분(Strongly Connected Component, SCC) 단위로 나누면, 각 성분 내부의 정점들은 서로 양방향으로 도달할 수 있습니다.알고리즘

뱀과 사다리 게임이란?뱀과 사다리(Snake and Ladder)는 누구나 한 번쯤 즐겨본 고전 보드게임입니다. 게임판에는 번호가 매겨진 여러 칸이 있으며, 일부 칸은 사다리 또는 뱀으로 연결되어 있습니다.사다리를 만나면 순서대로 이동하지 않고도 한 번에 더 높은 칸으로 올라가 목적지에 가까워질 수 있습니다.뱀을 만나면 반대로 더 낮은 칸으로 내려가 그 지점부터 다시 여정을 시작해야 합니다.이 문제에서 우리가 구해야 할 것은 시작 칸에서 도착 칸까지 도달하는 데 필요한 최소 주사위 던지기 횟수입니다.문제 접근 방식: BFS(너비 우

타잔(Tarjan) 알고리즘이란?타잔(Tarjan) 알고리즘은 방향 그래프(directed graph)에서 강한 연결 요소(Strongly Connected Component, SCC)를 찾는 데 사용되는 대표적인 그래프 알고리즘입니다. 이 알고리즘의 가장 큰 장점은 단 한 번의 DFS(깊이 우선 탐색)만으로 그래프 내 모든 강한 연결 요소를 구할 수 있다는 점입니다.DFS 탐색을 수행하면 그래프의 DFS 트리(포레스트)를 얻을 수 있습니다. 이 DFS 트리로부터 강한 연결 요소들을 도출하게 되며, 어떤 서브트리의 루트가 발견되면

위상 정렬이란?위상 정렬(Topological Sorting)은 방향 비순환 그래프(DAG, Directed Acyclic Graph)의 정점들을 선형 순서로 나열하는 알고리즘입니다. 핵심 규칙은 간단합니다. 방향 그래프의 모든 간선 U → V에 대해, 정렬 결과에서 반드시 정점 U가 정점 V보다 앞에 위치해야 한다는 것입니다.위상 정렬에서는 시작 정점(출발점)이 도착 정점보다 뒤에 오게 되므로, 이전에 방문한 노드들을 저장하기 위해 스택(Stack) 자료구조를 활용합니다. 모든 노드의 탐색을 마친 후에는 스택에서 요소를 하나씩 꺼

포드-풀커슨(Ford-Fulkerson) 알고리즘이란? 포드-풀커슨 알고리즘은 주어진 그래프에서 시작 정점(소스, Source)에서 종착 정점(싱크, Sink)까지 흐를 수 있는 최대 유량(Maximum Flow)을 구하는 고전적인 알고리즘입니다. 이 알고리즘에서 그래프의 모든 간선(edge)에는 각각 고유한 용량(capacity)이 부여됩니다. 그래프에는 다음과 같은 두 개의 특수 정점이 존재합니다. 소스(Source): 나가는 간선만 존재하고, 들어오는 간선은 없습니다. 싱크(Sink): 들어오는 간선만 존재하고, 나가는 간선

그래프 이론에서 전이 폐쇄(Transitive Closure)란 한 정점 u에서 다른 정점 v로 도달할 수 있는지를 나타내는 도달 가능성 행렬(reachability matrix)입니다. 하나의 그래프가 주어졌을 때, 모든 정점 쌍 (u, v)에 대해 v가 u로부터 도달 가능한지 여부를 구하는 것이 목표입니다. 전이 폐쇄 행렬의 특징 최종 결과 행렬은 부울(Boolean) 타입으로 구성됩니다. 정점 u에서 정점 v로 가는 값이 1이라면, u에서 v로 이어지는 경로가 최소 하나 이상 존재한다는 의미입니다. 반대로 값이 0이면 어떤

별 그래프란 무엇인가?하나의 그래프가 주어졌을 때, 이 그래프가 별 그래프(star graph)인지 아닌지를 판별하는 문제입니다.별 그래프는 하나의 중심 정점이 나머지 모든 정점과 간선으로 연결되어 있고, 중심 정점을 제외한 정점들 사이에는 어떠한 간선도 존재하지 않는 트리 형태의 그래프입니다. 마치 별이 빛을 뻗는 모습과 닮았다고 하여 별 그래프라고 부릅니다.따라서 그래프를 순회하면서 차수(degree)가 1인 정점의 개수와 차수가 n-1인 정점의 개수를 구해야 합니다. (여기서 n은 주어진 그래프의 정점 개수입니다.) 차수가 1

벨만-포드(Bellman-Ford) 알고리즘은 그래프 이론에서 시작 정점(소스)으로부터 나머지 모든 정점까지의 최단 거리를 구하는 데 사용되는 대표적인 알고리즘입니다. 널리 알려진 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘과의 가장 큰 차이점은 음수 가중치의 처리 여부입니다. 다익스트라 알고리즘은 음수 가중치를 가진 간선이 포함된 그래프에서 올바른 결과를 보장할 수 없지만, 벨만-포드 알고리즘은 이러한 경우에도 정확한 최단 경로를 손쉽게 구할 수 있습니다.벨만-포드 알고리즘은 상향식(bottom-up) 방식으로 최단 거리를 계산합니다.

이 문제에서는 서로 다른 크기의 여러 상자가 주어집니다. 각 상자는 길이(length), 너비(breadth), 높이(height)를 가지며, 상자마다 그 크기가 모두 다를 수 있습니다. 우리의 목표는 이 상자들을 쌓아서 가장 높은 탑을 만드는 것입니다.흥미로운 점은 상자를 자유롭게 회전할 수 있다는 것입니다. 즉, 어떤 면을 바닥에 둘지 마음대로 정할 수 있습니다. 하지만 반드시 지켜야 할 규칙이 하나 있습니다.문제의 핵심 규칙한 상자를 다른 상자 위에 올리려면, 아래 상자 윗면의 넓이가 위 상자 아랫면의 넓이보다 커야 합니다.

개요 무방향 그래프(undirected graph)에 사이클(cycle)이 존재하는지 판별하는 가장 대표적인 방법은 DFS(깊이 우선 탐색)을 활용하는 것입니다. 핵심 원리는 다음과 같습니다. 탐색 도중 어떤 정점 v를 방문했을 때, 그와 인접한 정점 u가 이미 방문된 상태이면서 동시에 u가 v의 부모 정점이 아니라면, 그래프에는 사이클이 존재한다고 판단할 수 있습니다. 이 글에서는 두 정점 사이에 평행 간선(parallel edge, 중복 간선)이 존재하지 않는다고 가정합니다. 다음은 인접 행렬(adjacency matrix)

깊이 우선 탐색(Depth First Search, DFS) 알고리즘을 사용하면 유향 그래프(directed graph)에서 사이클(cycle)을 효과적으로 감지할 수 있습니다. 어떤 노드가 자기 자신을 가리키는 셀프 루프(self-loop)를 가지고 있다면 이는 곧바로 사이클로 간주되며, 자식 노드에서 부모 노드로 되돌아가는 간선이 존재하는 경우 역시 사이클로 판단합니다.간선으로 연결되지 않은 비연결 그래프(disconnected graph)의 경우 여러 개의 독립적인 트리가 존재할 수 있는데, 이러한 구조를 포레스트(forest

오일러 경로(Euler Path)는 그래프의 모든 간선을 정확히 한 번씩만 지나가면서 방문할 수 있는 경로를 의미합니다. 이때 정점(vertex)은 여러 번 반복해서 방문해도 무방합니다.오일러 회로(Euler Circuit)는 오일러 경로의 특수한 형태입니다. 오일러 경로의 시작 정점과 끝 정점이 서로 연결되어 있어, 출발점으로 다시 돌아올 수 있는 경우를 오일러 회로라고 부릅니다.오일러 회로 판별 조건주어진 유향 그래프(directed graph)가 오일러 회로를 가지는지 확인하려면 다음 두 가지 조건을 모두 만족해야 합니다.연결

오일러 경로(Euler Path)는 그래프의 모든 간선을 정확히 한 번씩만 지나가면서 탐색할 수 있는 경로를 의미합니다. 이때 정점(vertex)은 여러 번 방문해도 무방합니다. 오일러 회로(Euler Circuit)는 오일러 경로의 특수한 형태로, 경로의 시작 정점과 끝 정점이 동일한 경우를 말합니다. 즉, 출발점으로 다시 돌아오는 닫힌 경로가 오일러 회로입니다.오일러 경로와 회로의 판별 조건그래프에 오일러 경로나 오일러 회로가 존재하는지 확인하려면 다음 조건들을 만족해야 합니다.연결 그래프여야 합니다. 그래프가 두 개 이상의 연

플뢰리 알고리즘(Fleurys Algorithm)은 주어진 그래프에서 오일러 경로(Euler Path) 또는 오일러 회로(Euler Circuit)를 찾아 출력하는 고전적인 그래프 알고리즘입니다. 이 알고리즘은 한 간선에서 출발하여 지나온 간선과 정점을 제거하면서 인접한 다른 정점으로 이동하는 방식을 반복합니다. 매 단계마다 그래프가 점점 단순해지기 때문에 오일러 경로나 회로를 체계적으로 찾을 수 있습니다.플뢰리 알고리즘의 기본 규칙경로 또는 회로를 올바르게 구하기 위해서는 다음 두 가지 규칙을 반드시 확인해야 합니다.그래프는 반드

그래프 색칠(Graph Coloring) 문제는 그래프 라벨링(Graph Labeling)의 특수한 경우입니다. 이 문제는 그래프의 각 노드(정점)에 색을 하나씩 할당하는 작업으로, 중요한 제약 조건이 있습니다. 바로 인접한 두 정점에는 절대 같은 색을 사용할 수 없다는 것입니다.이러한 조건을 만족하면서 모든 정점에 색을 칠하는 것이 그래프 색칠 문제의 핵심입니다.그래프 색칠 문제란?그래프 색칠은 지도 채색, 시간표 작성, 레지스터 할당 등 다양한 실무 문제로 확장될 수 있는 대표적인 그래프 이론 주제입니다. 예를 들어, 지도에서

가중치가 부여된 방향성 비순환 그래프(Directed Acyclic Graph, DAG)와 하나의 시작 정점(source vertex)이 주어졌을 때, 시작 노드에서 그래프 내 모든 다른 정점까지의 최장 거리를 구하는 문제를 다룹니다.DAG에서 최장 경로를 효율적으로 찾으려면 위상 정렬(Topological Sort)을 활용해야 합니다. 위상 정렬의 결과는 스택에 저장되며, 이후 스택에서 정점을 하나씩 꺼내면서 각 정점에 대한 최장 거리를 계산하게 됩니다.입력과 출력그래프는 인접 행렬 형태의 비용 행렬(cost matrix)로 주어

이분 그래프(bipartite graph)란 그래프의 모든 정점을 서로 독립적인 두 집합으로 나눌 수 있고, 그래프의 모든 간선이 반드시 한 집합의 정점에서 시작해 다른 집합의 정점으로 연결되는 경우를 말합니다. 다시 말해, 같은 집합 내부에는 어떠한 간선도 존재하지 않는 그래프입니다. 정점 색칠(Vertex Coloring)을 통한 이분 그래프 판별 그래프가 이분 그래프인지 확인하는 대표적인 방법은 정점 색칠 기법입니다. 같은 집합에 속한 정점에는 동일한 색을 부여하고, 다른 집합에 속한 정점에는 다른 색을 부여합니다. 너비 우선

가중치가 있는 하나의 방향성 비순환 그래프(Directed Acyclic Graph, DAG)와 시작 정점(source vertex)이 주어졌을 때, 시작 노드에서 그래프 내 모든 다른 정점까지의 최단 거리를 구하는 문제를 다룹니다.일반적인 가중 그래프에서는 음수 가중치가 포함된 경우 벨만-포드(Bellman-Ford) 알고리즘을, 양수 가중치만 있는 경우 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 하지만 그래프가 방향성 비순환 그래프라면 위상 정렬(Topological Sorting) 기법을 활용하여 알고리즘의