방향성 비순환 그래프의 최단 경로

가중된 방향성 비순환 그래프 하나가 제공됩니다. 다른 소스 정점도 제공됩니다. 이제 그래프에서 시작 노드에서 다른 모든 정점까지의 최단 거리를 찾아야 합니다.

더 작은 거리를 감지하기 위해 음수 가중치 그래프에 Bellman-Ford와 같은 다른 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 양수 가중치의 경우 Dijkstra 알고리즘도 도움이 됩니다. Directed Acyclic Graph의 경우 토폴로지 정렬 기술을 사용하여 복잡성을 줄입니다.

입력 및 출력

Input:
The cost matrix of the graph.
0   5  3 -∞ -∞ -∞
-∞  0  2  6 -∞ -∞
-∞ -∞  0  7  4  2
-∞ -∞ -∞  0 -1  1
-∞ -∞ -∞ -∞  0 -2
-∞ -∞ -∞ -∞ -∞  0

Output:
Shortest Distance from Source Vertex 1
Infinity 0 2 6 5 3

알고리즘

topoSort(u, 방문, 스택)

입력 :시작 노드 u, 추적할 방문 목록, 스택.
출력: 토폴로지 방식으로 노드를 정렬합니다.

Begin
   mark u as visited
   for all vertex v, which is connected with u, do
      if v is not visited, then
         topoSort(v, visited, stack)
   done
   push u into the stack
End

shortestPath(시작)

입력 - 시작 노드입니다.
출력 - 시작 노드에서 모든 정점의 최단 거리 목록입니다.

Begin
   initially make all nodes as unvisited
   for each node i, in the graph, do
      if i is not visited, then
         topoSort(i, visited, stack)
   done

   make distance of all vertices as ∞
   dist[start] := 0
   while stack is not empty, do
      pop stack item and take into nextVert
      if dist[nextVert] ≠∞, then
         for each vertices v, which is adjacent with nextVert, do
            if cost[nextVert, v] ≠∞, then
               if dist[v] > dist[nectVert] + cost[nextVert, v], then
                  dist[v] := dist[nectVert] + cost[nextVert, v]
         done
   done

   for all vertices i in the graph, do
      if dist[i] = ∞, then
         display Infinity
      else
         display dist[i]
   done
End

예시

#include<iostream>
#include<stack>
#define NODE 6
#define INF 9999

using namespace std;

int cost[NODE][NODE] = {
   {0, 5, 3, INF, INF, INF},
   {INF, 0, 2, 6, INF, INF},
   {INF, INF, 0, 7, 4, 2},
   {INF, INF, INF, 0, -1, 1},
   {INF, INF, INF, INF, 0, -2},
   {INF, INF, INF, INF, INF, 0}
};

void topoSort(int u, bool visited[], stack<int>&stk) {
   visited[u] = true;       //set as the node v is visited
   for(int v = 0; v<NODE; v++) {
      if(cost[u][v]) {       //for allvertices v adjacent to u
         if(!visited[v])
            topoSort(v, visited, stk);
      }
   }

   stk.push(u);       //push starting vertex into the stack
}

void shortestPath(int start) {
   stack<int> stk;
   int dist[NODE];

   bool vis[NODE];
   for(int i = 0; i<NODE;i++)
      vis[i] = false;          // make all nodes as unvisited at first

   for(int i = 0; i<NODE; i++)     //perform topological sort for vertices
      if(!vis[i])
         topoSort(i, vis, stk);

   for(int i = 0; i<NODE; i++)
      dist[i] = INF;       //initially all distances are infinity
   dist[start] = 0;       //distance for start vertex is 0

   while(!stk.empty()) {    //when stack contains element, process in topological order
      int nextVert = stk.top(); stk.pop();

      if(dist[nextVert] != INF) {
         for(int v = 0; v<NODE; v++) {
            if(cost[nextVert][v] && cost[nextVert][v] != INF){ if(dist[v] > dist[nextVert] +cost[nextVert][v])dist[v] = dist[nextVert] + cost[nextVert][v];
         }
      }
   }
   for(int i = 0; i<NODE; i++)
      (dist[i] == INF)?cout << "Infinity ":cout << dist[i]<<" ";
}

main() {
   int start = 1;
   cout << "Shortest Distance From Source Vertex "<<start<<endl;
   shortestPath(start);
}

출력

Shortest Distance From Source Vertex 1
Infinity 0 2 6 5 3