뢸로 삼각형(Reuleaux Triangle)의 넓이 구하는 방법

뢸로 삼각형이란?

뢸로 삼각형(Reuleaux Triangle)은 정삼각형의 세 꼭짓점을 중심으로 그린 세 개의 원호가 서로 만나 이루어지는 곡선 삼각형입니다. 어느 방향에서 재더라도 폭이 항상 동일한 '일정폭 곡선'의 대표적인 예로 알려져 있으며, 이번 글에서는 아래와 같은 뢸로 삼각형의 넓이를 계산하는 방법을 살펴보겠습니다.

뢸로 삼각형의 내부에는 하나의 정삼각형이 포함되어 있습니다. 정삼각형의 한 변의 길이, 즉 원호의 반지름을 h라고 할 때, 이 도형은 반지름이 h인 세 개의 원이 서로 겹치는 영역(세 원의 교집합)으로 만들어집니다.

넓이 계산 원리

뢸로 삼각형은 세 개의 부채꼴 영역으로 분해하여 생각할 수 있습니다. 각 부채꼴의 중심각은 60°이므로, 부채꼴 하나의 넓이는 다음과 같습니다.

그런데 세 부채꼴의 넓이를 단순히 모두 더하면, 가운데 정삼각형의 넓이가 세 번 중복되어 포함됩니다. 따라서 중복된 정삼각형의 넓이를 빼 주어야 실제 뢸로 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

이를 정리하면 최종 넓이 공식은 다음과 같습니다.

여기서 π는 원주율, √3은 3의 제곱근을 의미합니다.

C++ 예제 코드

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
float areaReuleaux(float h) {
    if (h < 0) // h가 음수이면 유효하지 않은 값
    return -1;
    float area = ((3.1415 - sqrt(3)) * h * h)/2;
    return area;
}
int main() {
    float height = 6;
    cout << "뢸로 삼각형의 넓이: " << areaReuleaux(height);
}

실행 결과

뢸로 삼각형의 넓이: 25.3701

위 코드에서는 변의 길이 h = 6일 때, 공식 ((π − √3) × h²) / 2에 값을 대입하여 약 25.3701이라는 결과를 얻습니다. 또한 입력값 h가 음수인 경우 유효하지 않은 값으로 판단하여 -1을 반환하도록 예외 처리를 추가했습니다.