C++로 시리즈 1, 5, 32, 288의 N번째 항 구하기

이 문제에서는 하나의 정수 N이 주어지며, 우리의 과제는 시리즈 1, 5, 32, 288, ...의 N번째 항을 구하는 프로그램을 작성하는 것입니다.

문제 이해를 위한 예시

입력

N = 4

출력

288

설명

4번째 항 = (4⁴) + (3³) + (2²) + (1¹) = 256 + 27 + 4 + 1 = 288

수열의 규칙 분석

이 수열의 각 항은 1부터 해당 순서까지의 거듭제곱 값(nⁿ)을 모두 더한 누적합으로 구성됩니다. 규칙을 단계별로 살펴보면 다음과 같습니다.

• 1번째 항: 1¹ = 1
• 2번째 항: 2² + 1¹ = 4 + 1 = 5
• 3번째 항: 3³ + 2² + 1¹ = 27 + 4 + 1 = 32
• 4번째 항: 4⁴ + 3³ + 2² + 1¹ = 256 + 27 + 4 + 1 = 288

해결 접근 방법

이 문제를 푸는 가장 간단한 방법은 수열의 일반항 공식을 활용하는 것입니다. N번째 항에 대한 공식은 다음과 같습니다.

N번째 항 = (N^N) + ((N-1)^(N-1)) + ... + (2²) + (1¹)

즉, 1부터 N까지 반복하면서 각 숫자 i에 대해 iⁱ를 계산하고 모두 더하면 됩니다. 시간 복잡도는 O(N²)이며, N의 크기가 크지 않다면 충분히 효율적인 방법입니다.

구현 예제 코드

#include <iostream>
using namespace std;

// 시리즈의 N번째 항을 계산하는 함수
int calcNthTerm(int N) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        int power = 1;
        // i의 i제곱 계산
        for (int j = 0; j < i; j++)
            power *= i;
        sum += power;
    }
    return sum;
}

int main() {
    int N = 4;
    cout << N << "번째 항의 값은 " << calcNthTerm(N) << " 입니다";
    return 0;
}

실행 결과

4번째 항의 값은 288 입니다

마무리

이처럼 수열의 패턴을 정확히 파악하면 복잡해 보이는 문제도 간단한 반복문 하나로 해결할 수 있습니다. N값이 커질 경우 결과값이 int 범위를 초과할 수 있으므로, 필요에 따라 long long 자료형을 사용하는 것이 좋습니다.