Python NumPy로 부동 소수점 배열 기반 Hermite_e 다항식의 Vandermonde 행렬 생성하기

Hermite_e(확률론적 에르미트) 다항식의 Vandermonde 행렬을 생성하려면 파이썬 NumPy의 numpy.polynomial.hermite_e 모듈에 있는 hermevander() 함수를 사용하면 됩니다. 이 함수는 의사 Vandermonde(pseudo-Vandermonde) 행렬을 반환하며, 행렬의 각 열은 해당 차수의 Hermite_e 다항식을 입력 점에서 평가한 값으로 채워집니다.

반환되는 행렬의 형태(shape)는 x.shape + (deg + 1,)이며, 마지막 축의 인덱스는 해당 Hermite_e 다항식의 차수를 나타냅니다. 데이터 타입(dtype)은 변환된 입력 배열 x와 동일하게 적용됩니다.

주요 매개변수

x : 평가할 점(point)들의 배열입니다. 요소 중 하나라도 복소수가 포함되어 있으면 dtype은 complex128로, 그렇지 않으면 float64로 변환됩니다. x가 스칼라 값이면 1차원 배열로 자동 변환됩니다.

deg : 결과 행렬의 최대 차수를 지정합니다.

Vandermonde 행렬의 활용

Vandermonde 행렬은 다항식 최소제곱 피팅(fitting), 보간(interpolation) 등 수치 해석 분야에서 핵심적인 역할을 하는 행렬입니다. NumPy의 polynomial 패키지는 Chebyshev, Legendre, Hermite 등 다양한 직교 다항식 계열에 대해 동일한 방식의 Vandermonde 행렬 생성 함수를 제공하므로, 다른 다항식으로도 같은 패턴으로 확장할 수 있습니다.

단계별 구현 과정

먼저 필요한 라이브러리를 임포트합니다.

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite_e as H

부동 소수점 값을 포함한 배열을 생성합니다.

x = np.array([0, 3.5, -1.4, 2.5])

생성한 배열을 출력해 확인합니다.

print("Our Array...\n",x)

배열의 차원을 확인합니다.

print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

배열의 데이터 타입을 확인합니다.

print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

배열의 형태(shape)를 확인합니다.

print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

hermevander() 메서드를 사용하여 Hermite_e 다항식의 Vandermonde 행렬을 생성합니다. 아래 예제에서는 차수를 2로 지정했습니다.

print("\nResult...\n",H.hermevander(x, 2))

전체 예제 코드

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite_e as H

# 배열 생성
x = np.array([0, 3.5, -1.4, 2.5])

# 배열 출력
print("Our Array...\n",x)

# 차원 확인
print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

# 데이터 타입 확인
print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

# 형태 확인
print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

# hermevander()로 Hermite_e 다항식의 Vandermonde 행렬 생성
print("\nResult...\n",H.hermevander(x, 2))

실행 결과

Our Array...
    [ 0.   3.5 -1.4  2.5]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
float64

Shape of our Array object...
(4,)

Result...
    [[  1.     0.    -1.  ]
     [  1.     3.5  11.25]
     [  1.    -1.4   0.96]
     [  1.     2.5   5.25]]

결과 해석

출력된 행렬을 살펴보면 첫 번째 열은 모두 1(H₀(x)), 두 번째 열은 입력값 그대로(H₁(x) = x), 세 번째 열은 x² − 1(H₂(x) = x² − 1)의 평가값으로 구성되어 있습니다. 예를 들어 x = 3.5일 때 H₂(3.5) = 3.5² − 1 = 11.25로 계산되며, x = −1.4일 때는 (−1.4)² − 1 = 0.96이 됩니다. 또한 정수와 실수가 섞여 있던 입력 배열이 float64 타입으로 자동 변환된 것도 확인할 수 있습니다.