Python NumPy로 르장드르 다항식의 의사 Vandermonde 행렬 생성하기 – x, y, z 샘플 포인트 배열 활용

Python NumPy에서 legendre.legvander3d() 메서드를 사용하면 x, y, z 샘플 포인트를 기반으로 르장드르(Legendre) 다항식의 의사 Vandermonde 행렬을 손쉽게 생성할 수 있습니다. 이 메서드는 지정한 차수(deg)와 샘플 포인트 (x, y, z)에 대한 의사 Vandermonde 행렬을 반환합니다.

주요 매개변수

x, y, z: 점 좌표(point coordinates) 배열입니다. 세 배열은 모두 동일한 shape(형태)를 가져야 합니다. 요소 중 하나라도 복소수가 포함되어 있으면 dtype이 complex128로 변환되고, 그렇지 않으면 float64로 변환됩니다. 스칼라 값이 입력되면 자동으로 1차원 배열로 변환됩니다.

deg: [x_deg, y_deg, z_deg] 형태의 최대 차수 리스트입니다. 각 축 방향에 대한 다항식의 최대 차수를 지정합니다.

단계별 구현 방법

1단계: 필요한 라이브러리 임포트

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

2단계: 동일한 shape의 점 좌표 배열 생성

numpy.array() 메서드를 사용하여 모두 같은 형태를 가지는 좌표 배열을 생성합니다.

x = np.array([1, 2])
y = np.array([3, 4])
z = np.array([5, 6])

3단계: 배열 출력하기

print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)
print("\nArray3...\n",z)

4단계: 데이터 타입 확인

print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)
print("\nArray3 datatype...\n",z.dtype)

5단계: 배열의 차원(Dimension) 확인

print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)
print("\nDimensions of Array3...\n",z.ndim)

6단계: 배열의 Shape 확인

print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)
print("\nShape of Array3...\n",z.shape)

7단계: legvander3d()로 의사 Vandermonde 행렬 생성

x, y, z 샘플 포인트에 대한 르장드르 다항식의 의사 Vandermonde 행렬을 생성하려면 Python에서 legendre.legvander3d() 메서드를 호출합니다.

x_deg, y_deg, z_deg = 2, 3, 4
print("\nResult...\n",L.legvander3d(x,y,z, [x_deg, y_deg, z_deg]))

전체 예제 코드

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

# numpy.array() 메서드로 동일한 shape의 점 좌표 배열 생성
x = np.array([1, 2])
y = np.array([3, 4])
z = np.array([5, 6])

# 배열 출력
print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)
print("\nArray3...\n",z)

# 데이터 타입 출력
print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)
print("\nArray3 datatype...\n",z.dtype)

# 배열의 차원 확인
print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)
print("\nDimensions of Array3...\n",z.ndim)

# 배열의 Shape 확인
print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)
print("\nShape of Array3...\n",z.shape)

# x, y, z 샘플 포인트에 대한 르장드르 다항식의 의사 Vandermonde 행렬 생성
x_deg, y_deg, z_deg = 2, 3, 4
print("\nResult...\n",L.legvander3d(x,y,z, [x_deg, y_deg, z_deg]))

실행 결과

Array1...
    [1 2]

Array2...
    [3 4]

Array3...
    [5 6]

Array1 datatype...
int64

Array2 datatype...
int64

Array3 datatype...
int64

Dimensions of Array1...
1

Dimensions of Array2...
1

Dimensions of Array3...
1

Shape of Array1...
(2,)

Shape of Array2...
(2,)

Shape of Array3...
(2,)

Result...
   [[1.00000000e+00 5.00000000e+00 3.70000000e+01 3.05000000e+02
     2.64100000e+03 3.00000000e+00 1.50000000e+01 1.11000000e+02
     9.15000000e+02 7.92300000e+03 1.30000000e+01 6.50000000e+01
     4.81000000e+02 3.96500000e+03 3.43330000e+04 6.30000000e+01
     3.15000000e+02 2.33100000e+03 1.92150000e+04 1.66383000e+05
     1.00000000e+00 5.00000000e+00 3.70000000e+01 3.05000000e+02
     2.64100000e+03 3.00000000e+00 1.50000000e+01 1.11000000e+02
     9.15000000e+02 7.92300000e+03 1.30000000e+01 6.50000000e+01
     4.81000000e+02 3.96500000e+03 3.43330000e+04 6.30000000e+01
     3.15000000e+02 2.33100000e+03 1.92150000e+04 1.66383000e+05
     1.00000000e+00 5.00000000e+00 3.70000000e+01 3.05000000e+02
     2.64100000e+03 3.00000000e+00 1.50000000e+01 1.11000000e+02
     9.15000000e+02 7.92300000e+03 1.30000000e+01 6.50000000e+01
     4.81000000e+02 3.96500000e+03 3.43330000e+04 6.30000000e+01
     3.15000000e+02 2.33100000e+03 1.92150000e+04 1.66383000e+05]
    [1.00000000e+00 6.00000000e+00 5.35000000e+01 5.31000000e+02
     5.53537500e+03 4.00000000e+00 2.40000000e+01 2.14000000e+02
     2.12400000e+03 2.21415000e+04 2.35000000e+01 1.41000000e+02
     1.25725000e+03 1.24785000e+04 1.30081312e+05 1.54000000e+02
     9.24000000e+02 8.23900000e+03 8.17740000e+04 8.52447750e+05
     2.00000000e+00 1.20000000e+01 1.07000000e+02 1.06200000e+03
     1.10707500e+04 8.00000000e+00 4.80000000e+01 4.28000000e+02
     4.24800000e+03 4.42830000e+04 4.70000000e+01 2.82000000e+02
     2.51450000e+03 2.49570000e+04 2.60162625e+05 3.08000000e+02
     1.84800000e+03 1.64780000e+04 1.63548000e+05 1.70489550e+06
     5.50000000e+00 3.30000000e+01 2.94250000e+02 2.92050000e+03
     3.04445625e+04 2.20000000e+01 1.32000000e+02 1.17700000e+03
     1.16820000e+04 1.21778250e+05 1.29250000e+02 7.75500000e+02
     6.91487500e+03 6.86317500e+04 7.15447219e+05 8.47000000e+02
     5.08200000e+03 4.53145000e+04 4.49757000e+05 4.68846262e+06]]

마무리

이처럼 NumPy의 legvander3d() 메서드를 활용하면 3차원 르장드르 다항식 기저 함수 값을 벡터화된 연산으로 한 번에 계산할 수 있습니다. 반환된 의사 Vandermonde 행렬은 다항식 최소제곱 피팅(least squares fitting) 등 수치 해석 작업에서 유용하게 활용됩니다. 참고로 결과 행렬의 열 개수는 (x_deg + 1) × (y_deg + 1) × (z_deg + 1)로 결정되며, 위 예제에서는 3 × 4 × 5 = 60개의 열이 생성된 것을 확인할 수 있습니다.