데이터에 대한 르장드르(Legendre) 급수의 최소제곱 피팅을 구하려면 Python NumPy의 legendre.legfit() 메서드를 사용하면 됩니다. 이 메서드는 낮은 차수부터 높은 차수 순으로 정렬된 르장드르 계수를 반환합니다. 만약 y가 2차원 배열이라면, y의 k번째 열에 있는 데이터에 대한 계수는 결과의 k번째 열에 위치합니다.
주요 매개변수 살펴보기
x — M개의 샘플(데이터) 점 (x[i], y[i])에 대한 x 좌표입니다.
y — 샘플 점들의 y 좌표입니다. 동일한 x 좌표를 공유하는 여러 데이터 세트는 y에 열마다 하나의 데이터 세트를 담은 2차원 배열을 전달함으로써 단 한 번의 호출로 독립적으로 피팅할 수 있습니다.
deg — 피팅 다항식의 차수입니다. deg가 단일 정수라면 deg차 항까지의 모든 항이 피팅에 포함됩니다.
rcond — 피팅의 상대 조건 수입니다. 가장 큰 특이값에 비해 rcond보다 작은 특이값은 무시됩니다. 기본값은 len(x)*eps이며, 여기서 eps는 플랫폼 부동 소수점 타입의 상대 정밀도로 대부분의 경우 약 2e-16입니다.
full — 반환 값의 형태를 결정하는 스위치입니다. False(기본값)이면 계수만 반환되고, True이면 특이값 분해(SVD)로부터 얻은 진단 정보까지 함께 반환됩니다.
w — 가중치입니다. None이 아닐 경우, 가중치 w[i]는 x[i] 지점에서의 제곱되지 않은 잔차 y[i] − ŷ[i]에 적용됩니다. 이상적으로는 w[i]·y[i] 곱의 오차가 모두 동일한 분산을 갖도록 가중치를 선택해야 하며, 역분산 가중치를 사용할 때는 w[i] = 1/sigma(y[i])로 설정합니다. 기본값은 None입니다.
구현 단계
먼저 필요한 라이브러리를 임포트합니다.
import numpy as np from numpy.polynomial import legendre as L
x 좌표를 생성합니다.
x = np.linspace(-1,1,51)
x 좌표를 출력해 확인합니다.
print("X Co-ordinate...\n",x)y 좌표를 생성합니다. 여기서는 3차 함수에 무작위 노이즈를 더한 값으로 구성했습니다.
y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)데이터에 대한 르장드르 급수의 최소제곱 피팅을 구하기 위해 legendre.legfit() 메서드를 호출합니다. full=True로 설정했기 때문에 계수와 함께 진단 정보도 반환됩니다.
c, stats = L.legfit(x,y,3,full=True)
print("\nResult...\n",c)
print("\nResult...\n",stats)전체 예제 코드
import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L
# x 좌표 생성
x = np.linspace(-1,1,51)
# x 좌표 출력
print("X Co-ordinate...\n",x)
# y 좌표 생성 (3차 함수 + 무작위 노이즈)
y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)
# legendre.legfit()으로 최소제곱 피팅 수행
c, stats = L.legfit(x,y,3,full=True)
print("\nResult...\n",c)
print("\nResult...\n",stats)실행 결과
X Co-ordinate...
[-1. -0.96 -0.92 -0.88 -0.84 -0.8 -0.76 -0.72 -0.68 -0.64 -0.6 -0.56
-0.52 -0.48 -0.44 -0.4 -0.36 -0.32 -0.28 -0.24 -0.2 -0.16 -0.12 -0.08
-0.04 0. 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24 0.28 0.32 0.36 0.4
0.44 0.48 0.52 0.56 0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88
0.92 0.96 1. ]
Y Co-ordinate...
[-5.28795520e-02 -7.61252904e-03 7.35194215e-02 -1.33072588e-01
-1.21785636e+00 7.75679385e-02 6.55168668e-01 1.42872448e+00
8.42326214e-01 2.49667989e+00 9.58942508e-01 -2.67332869e-01
-7.85575928e-01 1.93333045e+00 7.32492468e-01 5.23576961e-01
-1.91529521e+00 -1.41434385e+00 4.44787373e-01 3.81831261e-01
3.74128321e-01 1.20562789e+00 1.44870029e+00 1.01091575e-03
8.94334713e-01 1.22342199e+00 9.52055370e-01 -7.29520012e-01
-2.42648820e-01 -9.78434555e-02 1.27468237e-01 9.39489448e-01
1.08795136e+00 2.31230197e+00 1.93107556e-02 -6.13335407e-01
1.93170835e-01 -8.77958854e-01 -3.59868085e-01 4.31331759e-01
7.24929856e-01 -2.22736540e-01 -1.29623093e+00 4.13226024e-01
7.82155644e-01 -1.56618537e-01 1.25043737e+00 6.32386988e-01
-2.75716271e-01 8.80669895e-02 -3.20225560e-01]
Result...
[ 0.29249467 -0.10521942 -0.24847572 0.2010877 ]
Result...
[array([39.35467561]), 4, array([1.0425003 , 1.02126704, 0.97827074, 0.95561139]), 1.1324274851176597e-14]실행 결과를 보면 첫 번째 Result에는 차수별 르장드르 계수가 낮은 차수부터 순서대로 출력되고, 두 번째 Result에는 잔차의 제곱합, 피팅의 랭크, 정규화된 특이값 목록, 그리고 rcond 값 등 SVD 기반의 진단 정보가 담겨 있습니다. 이를 통해 피팅 품질을 수치적으로 평가할 수 있습니다.