Python NumPy로 체비셰프(Chebyshev) 다항식의 의사 반데르몬드 행렬 생성하기

개요

Python NumPy에서 chebyshev.chebvander2d() 함수를 사용하면 체비셰프(Chebyshev) 다항식의 의사 반데르몬드(pseudo-Vandermonde) 행렬을 손쉽게 생성할 수 있습니다. 이 메서드는 지정된 최대 차수(deg)와 샘플 포인트 (x, y)에 해당하는 의사 반데르몬드 행렬을 반환합니다.

매개변수 x와 y는 모두 동일한 형태(shape)를 가진 점 좌표 배열입니다. 배열 요소 중 하나라도 복소수가 포함되어 있으면 dtype은 complex128로 변환되고, 그렇지 않으면 float64로 변환됩니다. 스칼라 값이 입력되면 자동으로 1차원 배열로 변환됩니다. deg 매개변수는 [x_deg, y_deg] 형태로 각 축의 최대 차수를 지정하는 리스트입니다.

단계별 구현 방법

1단계: 라이브러리 임포트

먼저 필요한 라이브러리를 가져옵니다.

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

2단계: 점 좌표 배열 생성

numpy.array() 메서드를 사용하여 동일한 형태를 가진 점 좌표 배열을 생성합니다.

x = np.array([1, 2])
y = np.array([3, 4])

3단계: 배열 정보 확인

생성한 배열과 데이터 타입을 출력합니다.

print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)

print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)

두 배열의 차원(dimension)을 확인합니다.

print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)

두 배열의 형태(shape)를 확인합니다.

print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)

4단계: 의사 반데르몬드 행렬 생성

chebyshev.chebvander2d() 함수를 호출하여 체비셰프 다항식의 의사 반데르몬드 행렬을 생성합니다. 여기서는 x축 최대 차수를 2, y축 최대 차수를 3으로 설정했습니다.

x_deg, y_deg = 2, 3
print("\nResult...\n",C.chebvander2d(x,y, [x_deg, y_deg]))

전체 예제 코드

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

# numpy.array() 메서드로 동일한 형태의 점 좌표 배열 생성
x = np.array([1, 2])
y = np.array([3, 4])

# 배열 출력
print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)

# 데이터 타입 출력
print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)

# 두 배열의 차원 확인
print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)

# 두 배열의 형태 확인
print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)

# chebyshev.chebvander2d()로 의사 반데르몬드 행렬 생성
x_deg, y_deg = 2, 3
print("\nResult...\n",C.chebvander2d(x,y, [x_deg, y_deg]))

실행 결과

Array1...
[1 2]

Array2...
[3 4]

Array1 datatype...
int64

Array2 datatype...
int64

Dimensions of Array1...
1

Dimensions of Array2...
1

Shape of Array1...
(2,)

Shape of Array2...
(2,)

Result...
[[1.000e+00 3.000e+00 1.700e+01 9.900e+01 1.000e+00 3.000e+00 1.700e+01
9.900e+01 1.000e+00 3.000e+00 1.700e+01 9.900e+01]
[1.000e+00 4.000e+00 3.100e+01 2.440e+02 2.000e+00 8.000e+00 6.200e+01
4.880e+02 7.000e+00 2.800e+01 2.170e+02 1.708e+03]]

마무리

이처럼 NumPy의 chebvander2d() 함수를 활용하면 2차원 체비셰프 다항식 기반의 의사 반데르몬드 행렬을 간단하게 생성할 수 있습니다. 생성된 행렬은 체비셰프 다항식을 이용한 최소제곱 피팅(least squares fitting)이나 다항식 근사 등 수치 해석 작업에 유용하게 활용됩니다. 참고로 1차원 데이터에는 chebvander(), 3차원 데이터에는 chebvander3d() 함수를 사용할 수 있습니다.