Python에서 축 1을 따라 Legendre 급수 적분하기
르장드르(Legendre) 급수는 직교 다항식을 기반으로 하는 함수 표현 방식으로, 물리학과 수치 해석 분야에서 널리 활용됩니다. Python의 NumPy 라이브러리에서는 numpy.polynomial.legendre.legint() 메서드를 사용하여 Legendre 급수를 손쉽게 적분할 수 있습니다. 이 메서드는 계수 배열 c를 지정한 축(axis)을 따라 하한(lbnd)부터 m번 적분한 결과의 Legendre 급수 계수를 반환합니다. 매 반복마다 결과 급수에 스케일 팩터(scl)가 곱해지고 적분 상수(k)가 더해지며, 이 스케일 팩터는 변수의 선형 변환(linear change of variable)에 유용하게 사용됩니다.
주요 매개변수
- c: Legendre 급수의 계수 배열입니다. 다차원 배열인 경우 각 축은 서로 다른 변수에 대응되며, 각 축의 차수는 해당 인덱스로 결정됩니다.
- m: 적분 차수입니다. 반드시 양수여야 하며 기본값은 1입니다.
- k: 적분 상수입니다. 첫 번째 적분의 lbnd에서의 값이 리스트의 첫 번째 값이 되고, 두 번째 적분의 값이 두 번째 값이 되는 식입니다. k == [](기본값)이면 모든 상수가 0으로 설정됩니다. m == 1인 경우에는 리스트 대신 단일 스칼라 값을 지정할 수 있습니다.
- lbnd: 적분의 하한입니다. 기본값은 0입니다.
- scl: 스칼라 값입니다. 매 적분 후 적분 상수가 더해지기 전에 결과에 곱해집니다. 기본값은 1입니다.
- axis: 적분이 수행되는 축입니다. 기본값은 0입니다.
단계별 구현 과정
먼저 필요한 라이브러리를 임포트합니다.
import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L
계수로 사용할 다차원 배열을 생성합니다.
c = np.arange(4).reshape(2,2)
생성된 배열을 출력합니다.
print("Our Array...\n",c)배열의 차원을 확인합니다.
print("\nDimensions of our Array...\n",c.ndim)배열의 데이터 타입을 확인합니다.
print("\nDatatype of our Array object...\n",c.dtype)배열의 형태(shape)를 확인합니다.
print("\nShape of our Array object...\n",c.shape)axis=1을 지정하여 legint() 메서드로 Legendre 급수를 적분합니다.
print("\nResult...\n",L.legint(c, axis = 1))전체 예제 코드
import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L
# 계수로 사용할 다차원 배열 생성
c = np.arange(4).reshape(2,2)
# 배열 출력
print("Our Array...\n",c)
# 차원 확인
print("\nDimensions of our Array...\n",c.ndim)
# 데이터 타입 확인
print("\nDatatype of our Array object...\n",c.dtype)
# 형태(shape) 확인
print("\nShape of our Array object...\n",c.shape)
# axis=1을 따라 Legendre 급수 적분
print("\nResult...\n",L.legint(c, axis = 1))
실행 결과
Our Array...
[[0 1]
[2 3]]
Dimensions of our Array...
2
Datatype of our Array object...
int64
Shape of our Array object...
(2, 2)
Result...
[[0.16666667 0. 0.33333333]
[0.5 2. 1. ]]
실행 결과를 보면 원래 2×2 크기였던 계수 배열이 적분 후 2×3 크기로 확장되었습니다. 이는 n차 다항식을 적분하면 (n+1)차 다항식이 되어 계수가 하나씩 늘어나기 때문입니다. 또한 axis=1을 지정했으므로 각 행(row)별로 독립적으로 적분이 수행되었음을 확인할 수 있습니다.