Python에서 이중 수축(Double Contraction)으로 차원이 다른 배열의 텐서 내적 계산하기

텐서 내적(Tensor Dot Product)이란?

두 개의 텐서 a와 b, 그리고 두 개의 배열류 객체(a_axes, b_axes)를 포함하는 배열류 객체가 주어지면, 지정된 축을 따라 a와 b의 요소(성분) 곱의 합을 계산합니다. 세 번째 인자는 음수가 아닌 정수형 스칼라 N일 수도 있으며, 이 경우 a의 마지막 N개 차원과 b의 처음 N개 차원에 대해 합산이 수행됩니다.

numpy.tensordot() 메서드

차원이 서로 다른 배열에 대해 텐서 내적을 계산하려면 Python의 numpy.tensordot() 메서드를 사용합니다. 주요 매개변수는 다음과 같습니다.

• a, b: "내적(dot)" 연산을 수행할 텐서입니다.
• axes: 정수형 N이 주어지면 a의 마지막 N개 축과 b의 처음 N개 축을 순서대로 합산합니다. 이때 대응되는 축의 크기는 반드시 일치해야 합니다.
• axes = 2: 텐서 이중 수축(tensor double contraction)을 수행합니다.

단계별 구현 방법

1단계: 필요한 라이브러리 임포트

import numpy as np

2단계: 차원이 다른 두 개의 배열 생성

array() 메서드를 사용하여 차원이 서로 다른 두 개의 NumPy 배열을 생성합니다.

arr1 = np.array(range(1, 9))
arr1.shape = (2, 2, 2)

arr2 = np.array(('p', 'q', 'r', 's'), dtype=object)
arr2.shape = (2, 2)

3단계: 배열 출력하기

print("Array1...\n", arr1)
print("\nArray2...\n", arr2)

4단계: 배열의 차원 확인하기

print("\nDimensions of Array1...\n", arr1.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n", arr2.ndim)

5단계: 배열의 형태(shape) 확인하기

print("\nShape of Array1...\n", arr1.shape)
print("\nShape of Array2...\n", arr2.shape)

6단계: 텐서 내적 계산하기

차원이 다른 배열에 대한 텐서 내적을 계산하려면 numpy.tensordot() 메서드를 사용합니다.

print("\nTensor dot product...\n", np.tensordot(arr1, arr2, axes = 2))

전체 예제 코드

import numpy as np

# array() 메서드를 사용해 차원이 다른 두 개의 NumPy 배열 생성
arr1 = np.array(range(1, 9))
arr1.shape = (2, 2, 2)
arr2 = np.array(('p', 'q', 'r', 's'), dtype=object)
arr2.shape = (2, 2)

# 배열 출력
print("Array1...\n", arr1)
print("\nArray2...\n", arr2)

# 두 배열의 차원 확인
print("\nDimensions of Array1...\n", arr1.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n", arr2.ndim)

# 두 배열의 형태(shape) 확인
print("\nShape of Array1...\n", arr1.shape)
print("\nShape of Array2...\n", arr2.shape)

# 차원이 다른 배열에 대한 텐서 내적 계산
print("\nTensor dot product...\n", np.tensordot(arr1, arr2, axes = 2))

실행 결과

Array1...
[[[1 2]
[3 4]]

[[5 6]
[7 8]]]

Array2...
[['p' 'q']
['r' 's']]

Dimensions of Array1...
3

Dimensions of Array2...
2

Shape of Array1...
(2, 2, 2)

Shape of Array2...
(2, 2)

Tensor dot product...
['pqqrrrssss' 'pppppqqqqqqrrrrrrrssssssss']

결과 해석

axes = 2로 설정하면 arr1의 마지막 2개 축(크기 2×2)과 arr2의 처음 2개 축(크기 2×2)이 서로 수축(contract)됩니다. arr1은 3차원(2, 2, 2)이므로 남는 축은 첫 번째 축뿐이며, 결과적으로 길이가 2인 1차원 배열이 반환됩니다. 각 결과 요소는 arr1[i, j, k] * arr2[j, k]를 j, k에 대해 모두 더한 값으로, 문자열 배열의 경우 해당 위치의 문자들이 반복되어 이어진 형태로 출력됩니다.