C++에서 주어진 행렬을 대각 행렬로 변환하는 프로그램

n×n 크기의 행렬이 주어졌을 때, 어떤 형태의 행렬이든 대각 행렬로 변환하는 것이 이 글의 목표입니다. 변환 원리부터 C++ 전체 예제 코드, 실행 결과까지 단계별로 살펴보겠습니다.

대각 행렬이란?

대각 행렬은 n×n 정방행렬 중에서 주대각선(main diagonal)을 제외한 모든 원소가 0인 행렬을 의미합니다. 반면 대각선 위의 원소들은 어떤 값이든 가질 수 있습니다.

아래는 비대각선 원소를 0으로 바꾸는 과정을 나타낸 그림입니다.

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\:\rightarrow\:\begin{bmatrix}1 & 0 & 3 \\0 & 5 & 0 \\7 & 0 & 9 \end{bmatrix}$$

접근 방법

핵심 아이디어는 매우 간단합니다. 두 개의 중첩 반복문으로 행렬의 모든 원소를 순회하면서, 행 인덱스(i)와 열 인덱스(j)가 서로 다른 위치, 즉 대각선에 있지 않은 원소를 0으로 설정하고 대각선 원소는 그대로 두는 것입니다.

예시

Input-: matrix[3][3] = {{ 1, 2, 3 },
                        { 4, 5, 6 },
                        { 7, 8, 9 }}
Output-: {{ 1, 0, 3 },
          { 0, 5, 0 },
          { 7, 0, 9 }}

Input-: matrix[3][3] = {{ 91, 32, 23 },
                        { 40, 51, 26 },
                        { 72, 81, 93 }}
Output-: {{ 91, 0, 23 },
          { 0, 51, 0 },
          { 72, 0, 93 }}

알고리즘

Start
Step 1 -> 행렬 크기용 상수 정의: const int n = 10
Step 2 -> 대각 행렬 변환 함수 선언
    void diagonal(int arr[][n], int a, int m)
        Loop For int i = 0; i < a; i++
            Loop For int j = 0; j < m; j++
                IF i != j
                    Set arr[i][j] = 0
                End
            End
        End
        Loop For int i = 0; i < a; i++
            Loop For int j = 0; j < m; j++
                Print arr[i][j]
            End
            Print \n
        End
Step 3 -> main() 함수
    행렬 선언: int arr[][n] = { { 1, 2, 3 }, { 4, 5, 6 }, { 7, 8, 9 } }
    함수 호출: diagonal(arr, 3, 3)
Stop

C++ 구현 예제

#include <iostream>
using namespace std;

const int n = 10;

// n×n 행렬에서 대각선을 제외한 모든 원소를 0으로 변환하는 함수
void diagonal(int arr[][n], int a, int m) {
   for (int i = 0; i < a; i++) {
      for (int j = 0; j < m; j++) {
         // 대각선(i == j)이 아니면 0으로 설정
         if (i != j)
            arr[i][j] = 0;
      }
   }
   // 변환된 행렬 출력
   for (int i = 0; i < a; i++) {
      for (int j = 0; j < m; j++) {
         cout << arr[i][j] << " ";
      }
      cout << endl;
   }
}

int main() {
   int arr[][n] = { { 1, 2, 3 },
                    { 4, 5, 6 },
                    { 7, 8, 9 } };
   diagonal(arr, 3, 3);
   return 0;
}

실행 결과

위 코드를 실행하면 다음과 같은 출력이 생성됩니다.

1 0 3
0 5 0
7 0 9

복잡도 분석

이 알고리즘은 행렬의 모든 원소를 한 번씩만 확인하므로 시간 복잡도는 O(n²)입니다. 또한 입력 행렬 자체를 직접 수정하기 때문에 추가 메모리가 필요하지 않으며, 공간 복잡도는 O(1)입니다.

참고: 부대각선까지 유지하는 방법

만약 주대각선뿐 아니라 우상단에서 좌하단으로 이어지는 부대각선(anti-diagonal)의 원소도 함께 유지하고 싶다면, 조건문을 if (i != j && i + j + 1 != a)로 변경하면 됩니다. 이 경우 X자 형태로 두 대각선의 값이 모두 보존됩니다.