C++에서 두 수열의 결합 평균과 분산 구하기

개념

크기가 각각 b와 a인 서로 다른 두 수열 arr1[b]와 arr2[a]가 주어졌을 때, 이 두 수열을 하나로 합친 전체 데이터의 평균(mean)과 분산(variance)을 구하는 것이 이 글의 목표입니다.

입력

Arr1[] = { 24, 46, 35, 79, 13, 77, 35 };
Arr2[] = { 66, 68, 35, 24, 46 };

출력

Mean1: 44.1429
Mean2: 47.8
StandardDeviation1: 548.694
StandardDeviation2: 294.56
Combined Mean: 45.6667
d1 square: 2.322
d2_square: 4.5511
Combined Variance: 446.056

풀이 방법

먼저 계산에 사용할 기호를 다음과 같이 정의합니다.

n1 : 첫 번째 그룹(영역 1)의 관측값 개수
n2 : 두 번째 그룹(영역 2)의 관측값 개수
X1 : 영역 1의 평균
X2 : 영역 2의 평균
S₁ : 영역 1의 표준편차
S₂ : 영역 2의 표준편차
S₁² : 영역 1의 분산
S₂² : 영역 2의 분산

전체 그룹의 평균을 X라고 할 때, 각 그룹의 평균과 전체 평균 사이의 차이는 다음과 같습니다.

d₁ = X − X1
d₂ = X − X2

전체 그룹의 평균 X는 관측값 개수를 가중치로 하는 가중 평균 방식으로 계산합니다.

X = (n1 × X1 + n2 × X2) / (n1 + n2)

전체 그룹의 분산은 다음 공식으로 구합니다.

분산 = [n1 × (S₁² + d₁²) + n2 × (S₂² + d₂²)] / (n1 + n2)

즉, 각 그룹의 분산에 "그룹 평균과 전체 평균 사이 거리의 제곱(d²)"을 더한 뒤, 관측값 개수로 가중 평균을 내는 방식입니다.

C++ 구현 예제

// C++ 프로그램: 두 수열의 결합 평균과 분산 구하기
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 수열의 평균을 구하는 함수
float mean(int Arr[], int b){
    int sum1 = 0;
    for (int i = 0; i < b; i++)
        sum1 = sum1 + Arr[i];
    float mean = (float)sum1 / b;
    return mean;
}

// 수열의 표준편차를 구하는 함수
float sd(int Arr[], int b){
    float sum1 = 0;
    for (int i = 0; i < b; i++)
        sum1 = sum1 + (Arr[i] - mean(Arr, b)) *
      (Arr[i] - mean(Arr, b));
    float sdd = sum1 / b;
    return sdd;
}

// 서로 다른 두 수열의 결합 분산을 구하는 함수
float combinedVariance(int Arr1[], int Arr2[], int b, int a){
    // mean1, mean2 : 두 배열의 평균
    float mean1 = mean(Arr1, b);
    float mean2 = mean(Arr2, a);
    cout << "Mean1: " << mean1
         << " mean2: " << mean2 << endl;

    // sd1, sd2 : 두 배열의 표준편차
    float sd1 = sd(Arr1, b);
    float sd2 = sd(Arr2, a);
    cout << "StandardDeviation1: " << sd1
         << " StandardDeviation2: " << sd2
         << endl;

    // combinedMean : 두 배열의 결합 평균
    float combinedMean = (float)(b * mean1 + a * mean2) / (b + a);
    cout << "Combined Mean: " << combinedMean
         << endl;

    // d1_square, d2_square : 결합 평균에 대한 편차의 제곱
    float d1_square = (mean1 - combinedMean) * (mean1 - combinedMean);
    float d2_square = (mean2 - combinedMean) * (mean2 - combinedMean);
    cout << "d1 square: " << d1_square
         << " d2_square: " << d2_square
         << endl;

    // combinedVar : 두 배열의 결합 분산
    float combinedVar = (b * (sd1 + d1_square) + a * (sd2 + d2_square)) / (b + a);
    cout << "Combined Variance: " << combinedVar;
}

// 드라이버 함수
int main(){
    int Arr1[] = { 24, 46, 35, 79, 13, 77, 35 };
    int Arr2[] = { 66, 68, 35, 24, 46 };
    int b = sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]);
    int a = sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]);

    // 결합 평균·분산 계산 함수 호출
    combinedVariance(Arr1, Arr2, b, a);
    return 0;
}

실행 결과

Mean1: 44.1429 mean2: 47.8
StandardDeviation1: 548.694 StandardDeviation2: 294.56
Combined Mean: 45.6667
d1 square: 2.322 d2_square: 4.5511
Combined Variance: 446.056

참고 사항

위 구현에서 sd() 함수는 "편차 제곱의 합 ÷ n"을 반환하므로, 출력에서 StandardDeviation으로 표시된 값(548.694, 294.56)은 실제로는 각 그룹의 분산에 해당합니다. 이 값들이 결합 분산 공식의 S₁², S₂² 자리에 그대로 사용되므로 최종 결과에는 문제가 없습니다.