오일러의 정리는 정수 모듈로 양의 정수의 거듭제곱으로 처리하는 페르마의 작은 정리를 일반화한 것입니다. RSA 암호 시스템에 대한 이론적 지원 구조와 같은 기본 정수 이론의 적용이 증가합니다.
이 정리는 상대적으로 소수인 모든 및 n에 대해 -
$$\mathrm{a^{\phi \left ( n \right )}\, \equiv\, 1\left ( mod \, n \right ) }$$
여기서 ф(n)은 n에 대해 상대적으로 소수인 n보다 작은 양의 정수의 수를 계산하는 오일러의 전분 함수입니다.
이러한 정수의 집합을 고려하십시오 -
R ={x1 , x2 , ... xф(n) }, 즉, R의 각 요소 xi는 ged(xi, n) =1인 n보다 작은 고유한 양의 정수입니다. 그런 다음 각 요소에 a를 곱하고 모듈로 n −
S ={(ax1 모드 n), (ax2 모드 n), … (axф(n) 모드 n)}
n과 xi에 대해 상대적으로 소수이기 때문에 n에 상대적으로 소수, axi 또한 n에 대해 상대적으로 소수여야 합니다. 따라서 S의 모든 구성원은 n보다 작고 n에 대해 상대적으로 소수인 정수입니다.
S에 중복이 없습니다.
axi인 경우 모드 n 및 n =axj mod n 다음 xi =xj
$$\mathrm{따라서\, \Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \right )}\left ( ax_{i}\, mod\, n \right )=\Pi _{ i=1}^{\phi \left ( n \right )}\, x_{i}}$$
$$\mathrm{\Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \right )}\, ax_{i}\equiv \Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \ 오른쪽 )}\, x_{i}\left ( mod\, n \right )}$$
$$\mathrm{a^{\phi \left ( n \right )}\, x\left [ \Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \right )}\, x_{i} \right ]=\Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \right )}\, x_{i}\left ( mod\, n \right )}$$
$$\mathrm{a^{\phi \left ( n \right )}\equiv 1\left ( mod\, n \right )}$$
오일러 토티엔트 함수
오일러의 Totient 함수는 'n'에서 소수인 'n'으로 일반적으로 알려진 주어진 정수까지 양의 정수를 계산하는 수학 곱셈 함수이며 이 함수는 exi 주어진 정수 'n'까지 st.
오일러의 Totient 함수는 오일러의 파이 함수라고도 합니다. 암호화에서 필수적인 역할을 합니다. n보다 작고 n보다 상대적으로 소수인 정수의 수를 발견할 수 있습니다. $\mathrm{Z_{n}^{*}}$(n보다 작고 n에 상대적으로 소수인 숫자)에 의해 정의된 이러한 숫자 집합입니다.
오일러의 totient 함수는 여러 면에서 유용합니다. 보안 목적으로 사용할 수 있는 RSA 암호화 시스템에서 사용할 수 있습니다. 이 함수는 소수 이론을 다루며 큰 계산의 계산에도 유용합니다. 이 함수는 대수 계산 및 단순 숫자에 활용할 수 있습니다.
함수를 나타내는 데 사용되는 기호는 ϕ이며 phi 함수라고도 합니다. 이 기능에는 실제 사용보다 이론적인 사용이 더 많이 포함됩니다. 기능의 합리적인 요구 사항이 제한됩니다.
이 기능은 이론적인 설명이 아닌 몇 가지 실제 사례를 통해 더 잘 이해할 수 있습니다. 오일러의 토티엔트 함수를 계산하기 위한 몇 가지 규칙이 있으며 다른 숫자에 대해 다른 규칙이 사용됩니다.
오일러 요소 함수 ф(n)은 다음 규칙을 사용하여 $\mathrm{Z_{n}^{*}}$의 요소 수를 계산합니다. −
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ф(1) =0.
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ф(P) =P - P가 소수이면 1입니다.
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ф(m x n) =ф(m) x ф(n) m과 n이 상대적으로 소수인 경우
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ф(P e ) =P e − P e−1 (P가 소수인 경우)
다음 네 가지 규칙을 결합하여 ф(n)의 값을 얻고 n을 다음과 같이 인수분해합니다.
$$\mathrm{n=P_{1}^{e1}\, x\,P_{2}^{e2}x\cdot \cdot \cdot P_{k}^{ek}}$$
$$\mathrm{\phi \left ( n \right )=\left ( P_{1}^{e1}-P_{1}^{e1-1} \right )\left ( P_{2}^{e2 }-P_{2}^{e2-1} \right )x\cdot \cdot \cdot x\left (P_{k}^{ek}-P_{k}^{ek-1} \right )}$ $
ф(n)을 찾는 어려움은 n의 인수분해를 찾는 어려움에 따라 다릅니다.