미분방정식에 대한 Runge-Kutta 4차 법칙

Runge Kutta 방법은 상미분 방정식(ODE)을 푸는 데 사용됩니다. x와 y에 대해 dy/dx 함수를 사용하며 y의 초기 값, 즉 y(0)도 필요합니다. 주어진 x에 대한 y의 근사값을 찾습니다. ODE를 풀려면 다음 공식을 따라야 합니다.

여기서 h는 간격의 높이입니다.

참고: 이 공식에서 처음 두 개의 k1과 k2를 사용하여 ODE에 대한 Runge-Kutta 2차 해를 찾을 수 있습니다.

입력 및 출력

Input:
The x0 and f(x0): 0 and 0
the value of x = 0.4
the value of h = 0.1
Output:
Answer of differential equation: 0.0213594

알고리즘

rungeKutta(x0, y0, x, h)

입력 - 초기 x 및 y 값, 대상 x 값 및 간격 h의 높이.

출력 - x 값에 대한 y 값.

Begin
   iteration := (x – x0)/h
   y = y0
   for i := 1 to iteration, do
      k1 := h*f(x0, y)
      k2 := h*f((x0 + h/2), (y + k1/2))
      k3 := h*f((x0 + h/2), (y + k2/2))
      k4 := h*f((x0 + h), (y + k3))
      y := y + (1/6)*(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
      x0 := x0 + h
   done
   return y
End

예시

#include <iostream>
using namespace std;

double diffOfy(double x, double y) {
   return ((x*x)+(y*y)); //function x^2 + y^2
}

double rk4thOrder(double x0, double y0, double x, double h) {
   int iteration = int((x - x0)/h);    //calculate number of iterations
   double k1, k2, k3, k4;
   double y = y0;    //initially y is f(x0)

   for(int i = 1; i<=iteration; i++) {
      k1 = h*diffOfy(x0, y);
      k2 = h*diffOfy((x0+h/2), (y+k1/2));
      k3 = h*diffOfy((x0+h/2), (y+k2/2));
      k4 = h*diffOfy((x0+h), (y+k3));
         
      y += double((1.0/6.0)*(k1+2*k2+2*k3+k4));    //update y using del y
      x0 += h;    //update x0 by h
   }
   return y;    //f(x) value
}

int main() {
   double x0, y0, x, h;
   cout << "Enter x0 and f(x0): "; cin >> x0 >> y0;
   cout << "Enter x: "; cin >> x;
   cout << "Enter h: "; cin >> h;
   cout << "Answer of differential equation: " << rk4thOrder(x0, y0, x, h);
}

출력

Enter x0 and f(x0): 0 0
Enter x: 0.4
Enter h: 0.1
Answer of differential equation: 0.0213594