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파이썬으로 풀이하는 이진 트리 색칠 게임 문제

문제 소개

두 명의 플레이어가 이진 트리 위에서 턴제 게임을 진행한다고 가정해 보겠습니다. 트리의 루트 노드와 전체 노드 개수 n이 주어지며, n은 항상 홀수입니다. 또한 각 노드는 1부터 n까지 서로 겹치지 않는 고유한 값을 가집니다.

게임은 다음 규칙에 따라 진행됩니다.

  • 첫 번째 플레이어가 1 ≤ x ≤ n 범위의 값 x를 하나 정하고, 해당 노드를 빨간색으로 칠합니다.
  • 두 번째 플레이어는 y ≠ x를 만족하는 값 y를 정하고, 해당 노드를 파란색으로 칠합니다.
  • 이후 첫 번째 플레이어부터 번갈아 가며 턴을 진행합니다. 각 턴에는 자신의 색으로 칠해진 노드를 하나 선택한 뒤, 그 노드에 인접한 아직 칠해지지 않은 노드(왼쪽 자식, 오른쪽 자식 또는 부모)를 자신의 색으로 칠합니다.
  • 어떤 플레이어도 이런 방식으로 칠할 수 있는 노드가 없다면 턴을 건너뛰어야 하며, 양쪽 모두 턴을 건너뛰면 게임이 종료됩니다. 최종적으로 더 많은 노드를 칠한 플레이어가 승자가 됩니다.

우리는 두 번째 플레이어 입장이라고 가정합니다. 승리를 확정할 수 있는 y를 선택할 수 있다면 true를, 불가능하다면 false를 반환하면 됩니다.

예시

트리가 아래와 같이 구성되어 있다고 해보겠습니다.

파이썬으로 풀이하는 이진 트리 색칠 게임 문제

n이 11이고 x가 3일 때 출력은 true입니다. 두 번째 플레이어가 값이 2인 노드를 선택하면 x=3의 왼쪽 서브트리 전체를 선점할 수 있어 승리가 보장되기 때문입니다.

해결 전략

이 문제의 핵심 아이디어는 x를 기준으로 트리를 세 개의 독립된 영역으로 나누는 것입니다.

  1. x의 왼쪽 서브트리 (leftVal)
  2. x의 오른쪽 서브트리 (rightVal)
  3. x의 부모 쪽에 속한 나머지 노드들 (nodeToX)

두 번째 플레이어가 승리할 수 있는 유일한 방법은 x에 바로 인접한 노드(x의 부모 또는 자식)를 선택해 세 영역 중 하나를 통째로 차단하는 것입니다. 따라서 세 영역의 노드 수를 계산한 뒤, 가장 큰 영역이 나머지 두 영역을 합친 크기보다 커야 합니다. n이 홀수이므로 x를 제외한 노드 수는 짝수이고, 어떤 영역이 전체의 절반을 초과하면 반드시 승리할 수 있습니다.

구현 절차는 다음과 같습니다.

  • solve(node, x, l, r) 메서드를 정의합니다. l과 r은 초기값이 False입니다.
  • 노드가 존재하지 않으면 즉시 반환합니다.
  • l이 True이면 leftVal을 1 증가시키고, 그렇지 않고 r이 True이면 rightVal을 1 증가시킵니다.
  • 노드의 값이 x와 같다면, 왼쪽 자식에는 solve(node.left, x, True, False)를, 오른쪽 자식에는 solve(node.right, x, False, True)를 호출합니다.
  • 그 외의 경우에는 l, r 값을 그대로 유지한 채 양쪽 자식으로 재귀 호출을 이어갑니다.

메인 메서드의 동작 순서는 다음과 같습니다.

  • nodeToX = 0, leftVal = 0, rightVal = 0으로 초기화합니다.
  • solve(root, x, False, False)를 호출해 세 영역의 크기를 계산합니다.
  • nodeToX = n − leftVal − rightVal − 1 공식으로 부모 쪽 영역의 크기를 구합니다.
  • temp = max(rightVal, nodeToX, leftVal)로 가장 큰 영역의 크기를 구합니다.
  • nodeToX + leftVal + rightVal − 2 × temp ≥ 0이면 false를, 그렇지 않으면 true를 반환합니다.

파이썬 구현 예제

아래 코드를 통해 실제 동작을 확인해 보겠습니다.

class TreeNode:
   def __init__(self, data, left = None, right = None):
      self.data = data
      self.left = left
      self.right = right
def insert(temp,data):
   que = []
   que.append(temp)
   while (len(que)):
      temp = que[0]
      que.pop(0)
      if (not temp.left):
         if data is not None:
            temp.left = TreeNode(data)
         else:
            temp.left = TreeNode(0)
         break
      else:
         que.append(temp.left)
      if (not temp.right):
         if data is not None:
            temp.right = TreeNode(data)
         else:
            temp.right = TreeNode(0)
         break
      else:
         que.append(temp.right)
def make_tree(elements):
   Tree = TreeNode(elements[0])
   for element in elements[1:]:
      insert(Tree, element)
   return Tree
class Solution(object):
   def btreeGameWinningMove(self, root, n, x):
      self.nodeToX = 0
      self.leftVal = 0
      self.rightVal = 0
      self.solve(root,x)
      self.nodeToX = n - self.leftVal - self.rightVal - 1
      temp = max(self.rightVal,max(self.nodeToX,self.leftVal))
      return not (self.nodeToX + self.leftVal + self.rightVal - (2*temp)>=0)
   def solve(self,node,x,l= False,r = False):
      if not node:
         return
      if l:
         self.leftVal+=1
      elif r:
         self.rightVal+=1
      if node.data == x:
         self.solve(node.left,x,True,False)
         self.solve(node.right,x,False,True)
      else:
         self.solve(node.left,x,l,r)
         self.solve(node.right,x,l,r)
ob = Solution()
root = make_tree([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11])
print(ob.btreeGameWinningMove(root, 11, 3))

입력

[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
11
3

출력

true

복잡도 분석

트리의 모든 노드를 정확히 한 번씩 방문하므로 시간 복잡도는 O(n)입니다. 재귀 호출 스택의 깊이는 트리의 높이에 비례하므로, 공간 복잡도는 편향된 트리의 최악의 경우 O(n), 균형 잡힌 트리의 경우 O(log n)입니다.