점 d가 평면상의 점 a, b, c로 정의된 원의 내부에 있는지 외부에 있는지 확인하는 C++ 프로그램

이 글에서는 방정식을 활용하여 평면 위의 세 점 a, b, c로 정의된 원을 기준으로, 점 d가 해당 원의 내부에 속하는지 아니면 외부에 속하는지 판별하는 C++ 프로그램을 소개합니다. 판별에 사용되는 핵심 식은 다음과 같습니다.

s = (x - xt)^2 + (y - yt)^2 – r*r

여기서 t(xt, yt)는 평면 위의 임의의 점이며, 세 점 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)으로 결정된 원에 대한 점 t의 상대적 위치를 값 s로 나타냅니다.

s < 0 : 점 t는 원의 내부에 있습니다.
s > 0 : 점 t는 원의 외부에 있습니다.
s = 0 : 점 t는 원주, 즉 원의 경계선 위에 있습니다.

원리: 원의 중심과 반지름 구하기

세 점을 모두 지나는 원(삼각형의 외접원)의 중심은, 두 점씩 이은 선분들의 수직이등분선이 만나는 교점에서 구할 수 있습니다. 프로그램에서는 먼저 두 쌍의 점에 대한 직선의 기울기 a1, a2를 계산한 뒤, 이를 이용해 원의 중심 좌표 (c1, c2)를 구하고, 중심에서 원 위의 한 점까지의 거리로 반지름 r을 산출합니다.

알고리즘

시작
    세 점의 좌표를 준비합니다.
    상수 L = 0과 H = 20을 선언합니다.
    방정식 계산에 필요한 변수들을 선언합니다.
    rand() 함수를 사용해 실행할 때마다 서로 다른 좌표값을 무작위로 생성합니다.
    수직이등분선의 성질을 이용해 원의 중심(c1, c2)을 계산합니다.
    중심과 원 위의 한 점 사이의 거리로 반지름 r을 계산합니다.
    검사할 점을 입력받아 s 값을 계산합니다.
    if s < 0 이면 "점은 원의 내부에 있습니다"를 출력합니다.
    else if s > 0 이면 "점은 원의 외부에 있습니다"를 출력합니다.
    else(s = 0)이면 "점은 원 위에 있습니다"를 출력합니다.
종료

예제 코드

#include<time.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<math.h>

using namespace std;
const int L = 0;
const int H = 20;

int main(int argc, char **argv) {
    time_t s;
    time(&s);
    srand((unsigned int) s);

    double x1, x2, y1, y2, x3, y3;
    double a1, a2, c1, c2, r;
    x1 = rand() % (H - L + 1) + L;
    x2 = rand() % (H - L + 1) + L;
    x3 = rand() % (H - L + 1) + L;
    y1 = rand() % (H - L + 1) + L;
    y2 = rand() % (H - L + 1) + L;
    y3 = rand() % (H - L + 1) + L;

    // 두 현(chord)에 대한 직선의 기울기 계산
    a1 = (y1 - y2) / (x1 - x2);
    a2 = (y3 - y2) / (x3 - x2);

    // 원의 중심 계산
    c1 = ((a1 * a2 * (y3 - y1)) + (a1 * (x2 + x3)) - (a2 * (x1 + x2))) / (2 * (a1 - a2));
    c2 = ((((x1 + x2) / 2) - c1) / (-1 * a1)) + ((y1 + y2) / 2);

    // 반지름 계산
    r = sqrt(((x3 - c1) * (x3 - c1)) + ((y3 - c2) * (y3 - c2)));

    cout << "The points on the circle are: (" << x1 << ", " << y1 << "), ("
        << x2 << ", " << y2 << "), (" << x3 << ", " << y3 << ")";
    cout << "\nThe center of the circle is (" << c1 << ", " << c2 << ") and radius is " << r;

    cout << "\nEnter the point : ";
    int u, v;
    cin >> u;
    cin >> v;

    double s1 = ((u - c1) * (u - c1)) + ((v - c2) * (v - c1)) - (r * r);
    if (s1 < 0)
        cout << "\nThe point lies inside the circle";
    else if (s1 > 0)
        cout << "\nThe point lies outside the circle";
    else
        cout << "\nThe point lies on the circle";
    return 0;
}

참고: 위 예제 코드의 s1 계산식에서 (v - c2) * (v - c1) 부분은 오타로 보입니다. 점과 중심 사이의 거리를 정확히 계산하려면 (v - c2) * (v - c2)로 수정하는 것이 바람직합니다. 아래 실행 결과는 원본 코드를 그대로 실행했을 때의 출력입니다.

실행 결과

The points on the circle are: (8, 4), (9, 17), (5, 9)
The center of the circle is (12.6364, 10.8182) and radius is 7.84983
Enter the point : 7
6

The point lies outside the circle

이처럼 s 값의 부호만 확인하면 복잡한 기하학적 판단 과정 없이도, 주어진 점이 원의 내부·외부·경계 중 어디에 위치하는지 간단하게 판별할 수 있습니다.