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파이프와 저수조(Pipes & Cisterns) 문제 풀이 완벽 가이드

파이프와 저수조(pipes and cisterns) 문제는 각종 경시대회와 채용 시험에서 빠짐없이 등장하는 대표적인 수학 유형입니다. 처음에는 생소하게 느껴질 수 있지만, 기본 원리만 이해하면 어렵지 않게 풀 수 있으므로 미리 숙지해 두는 것이 좋습니다.

파이프와 저수조 문제의 기본 원리

이 유형의 문제는 탱크(저수조)를 채우거나 비우는 파이프가 등장합니다. 핵심 개념을 정리하면 다음과 같습니다.

  • 유입 파이프와 유출 파이프: 유입 파이프(inlet pipe)는 탱크를 채우고, 유출 파이프(outlet pipe)는 탱크를 비웁니다.
  • 1시간당 작업량: 한 파이프가 n시간에 탱크를 채우거나 비운다면, 탱크 용량이 c리터일 때 1시간당 c/n리터씩 작업합니다.
  • 여러 파이프가 함께 작동할 때: 채우는 파이프와 비우는 파이프가 동시에 작동하면 1시간당 변화량은 다음과 같습니다.
    1시간 작업량 = Σ(c/fi) − Σ(c/ej)
    여기서 fi는 i번째 유입 파이프가 탱크를 채우는 데 걸리는 시간, ej는 j번째 유출 파이프가 탱크를 비우는 데 걸리는 시간입니다.

계산 결과가 양수이면 탱크가 채워지고, 음수이면 탱크가 비워집니다. 이제 대표 예제를 통해 개념을 확실히 익혀 보겠습니다.

문제 1

두 파이프가 각각 따로 작동할 때 탱크를 채우는 데 6시간과 4시간이 걸립니다. 두 파이프를 동시에 열면 탱크를 채우는 데 얼마나 걸릴까요?

풀이

A 파이프가 1시간 동안 채우는 탱크의 비율 = 1/6

B 파이프가 1시간 동안 채우는 탱크의 비율 = 1/4

두 파이프가 함께 1시간 동안 채우는 비율 = 1/6 + 1/4 = 5/12

따라서 두 파이프가 함께 탱크를 채우는 데 필요한 시간은 12/5시간, 즉 2시간 24분입니다.

문제 2

탱크에는 3개의 파이프가 있습니다. 이 중 두 파이프는 각각 10시간과 15시간에 걸쳐 탱크를 채우고, 세 번째 파이프는 12시간에 걸쳐 탱크를 비웁니다. 세 파이프를 모두 동시에 열면 탱크는 채워질까요, 비워질까요? 그리고 걸리는 시간은 얼마인가요?

풀이

A 파이프가 1시간 동안 채우는 비율 = 1/10

B 파이프가 1시간 동안 채우는 비율 = 1/15

C 파이프가 1시간 동안 비우는 비율 = 1/12

세 파이프가 함께 작동할 때 1시간당 변화량 = 1/10 + 1/15 − 1/12 = 6/60 + 4/60 − 5/60 = 5/60 = 1/12

결과가 양수이므로 탱크는 채워지며, 걸리는 시간은 12시간입니다.

문제 3

탱크에 유입 파이프가 2개 있습니다. 두 파이프가 함께 작동하면 탱크를 6시간 만에 채울 수 있고, 혼자 작동할 때는 첫 번째 파이프가 두 번째 파이프보다 5시간 덜 걸립니다. 두 번째 파이프가 혼자 탱크를 채우는 데 걸리는 시간은 얼마인가요?

풀이

첫 번째 파이프가 걸리는 시간을 t시간이라 하면, 두 번째 파이프는 (t+5)시간이 걸립니다.

첫 번째 파이프가 1시간 동안 채우는 비율 = 1/t

두 번째 파이프가 1시간 동안 채우는 비율 = 1/(t+5)

두 파이프가 함께 1시간 동안 채우는 비율 = 1/t + 1/(t+5) = (2t+5)/{t(t+5)}

두 파이프가 함께 탱크를 채우는 데 6시간이 걸리므로,

(2t+5)/{t(t+5)} = 1/6
12t + 30 = t² + 5t
t² − 7t − 30 = 0
t² − 10t + 3t − 30 = 0
t(t − 10) + 3(t − 10) = 0
(t + 3)(t − 10) = 0
t = 10 (시간은 음수일 수 없음)

따라서 첫 번째 파이프는 10시간, 두 번째 파이프는 15시간이 걸립니다.

문제 4

세 파이프 A, B, C가 있습니다. A는 탱크를 5시간 만에 채우고, B는 15시간 만에 채우며, C는 탱크를 비웁니다. 세 파이프를 모두 열면 A와 B만 열었을 때보다 15분이 더 걸립니다. C가 탱크를 비우는 데 걸리는 시간은 얼마인가요?

풀이

탱크의 용량을 LCM(5, 15) = 15단위로 둡니다.

A 파이프의 효율 = 15 ÷ 5 = 3단위/시간

B 파이프의 효율 = 15 ÷ 15 = 1단위/시간

A+B의 합산 효율 = 4단위/시간

A와 B만 열었을 때 탱크를 채우는 시간 = 15 ÷ 4 = 3시간 45분

세 파이프를 모두 열었을 때 걸리는 시간 = 3시간 45분 + 15분 = 4시간

이때 전체 효율 = 15 ÷ 4 = 3.75단위/시간

C 파이프의 효율 = (A+B의 효율) − 전체 효율 = 4 − 3.75 = 0.25단위/시간

따라서 C가 탱크를 비우는 데 걸리는 시간 = 15 ÷ 0.25 = 60시간