C++로 구현하는 고유한 이진 탐색 트리 II: 구조적으로 유일한 모든 BST 생성하기

문제 개요

정수 n이 주어졌을 때, 1부터 n까지의 값을 저장하면서 서로 구조적으로 다른(고유한) 모든 이진 탐색 트리(BST)를 생성하는 것이 이 문제의 목표입니다.

예를 들어 입력값이 3이라면 다음과 같은 5개의 트리가 만들어집니다.

접근 방법

이 문제는 재귀와 분할 정복 기법으로 해결할 수 있습니다. 핵심 아이디어는 각 숫자 i를 루트로 지정했을 때, 1부터 i-1까지의 값은 왼쪽 서브트리를, i+1부터 n까지의 값은 오른쪽 서브트리를 구성한다는 점입니다. 왼쪽 서브트리의 모든 경우와 오른쪽 서브트리의 모든 경우를 조합하면 해당 루트에서 만들 수 있는 전체 트리의 개수를 얻을 수 있습니다.

알고리즘 단계

low와 high를 인자로 받는 재귀 함수 generate()를 정의합니다.
결과를 담을 트리 노드 벡터 temp를 선언합니다.
low > high인 경우 temp에 null을 추가하고 반환합니다. (빈 서브트리 처리)
i를 low부터 high까지 반복합니다.
- left_subtree = generate(low, i - 1)
- right_subtree = generate(i + 1, high)
- current = i
- j를 0부터 left_subtree의 크기까지 반복합니다.
  - k를 0부터 right_subtree의 크기까지 반복합니다.
    - current 값을 가지는 새 노드 curr_node를 생성합니다.
    - curr_node의 왼쪽 자식을 left_subtree[j]로 설정합니다.
    - curr_node의 오른쪽 자식을 right_subtree[k]로 설정합니다.
    - curr_node를 temp에 추가합니다.
temp를 반환합니다.
처음에는 generate(1, n)을 호출하여 모든 트리를 생성합니다.

예제 코드 (C++)

아래 구현을 통해 동작 방식을 더 잘 이해할 수 있습니다.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class TreeNode{
   public:
      int val;
      TreeNode *left, *right;
      TreeNode(int data){
         val = data;
         left = right = NULL;
      }
};
void insert(TreeNode **root, int val){
   queue<TreeNode*> q;
   q.push(*root);
   while(q.size()){
      TreeNode *temp = q.front();
      q.pop();
      if(!temp->left){
         if(val != NULL)
            temp->left = new TreeNode(val);
         else
            temp->left = new TreeNode(0);
         return;
      }
      else{
         q.push(temp->left);
      }
      if(!temp->right){
         if(val != NULL)
            temp->right = new TreeNode(val);
         else
            temp->right = new TreeNode(0);
         return;
      }
      else{
         q.push(temp->right);
      }
   }
}
TreeNode *make_tree(vector<int> v){
   TreeNode *root = new TreeNode(v[0]);
   for(int i = 1; i<v.size(); i++){
      insert(&root, v[i]);
   }
   return root;
}
void tree_level_trav(TreeNode*root){
   if (root == NULL) return;
      cout << "[";
   queue<TreeNode *> q;
   TreeNode *curr;
   q.push(root);
   q.push(NULL);
   while (q.size() > 1) {
      curr = q.front();
      q.pop();
      if (curr == NULL){
         q.push(NULL);
      }
      else {
         if(curr->left)
            q.push(curr->left);
         if(curr->right)
            q.push(curr->right);
         if(curr == NULL || curr->val == 0){
            cout << "null" << ", ";
         }
         else{
            cout << curr->val << ", ";
         }
      }
   }
   cout << "]"<<endl;
}
class Solution {
public:
   vector<TreeNode*> generate(int low, int high) {
      vector <TreeNode*> temp;
      if(low > high){
         temp.push_back(NULL);
         return temp;
      }
      for(int i = low;i<=high;i++){
         vector <TreeNode*> leftSubtree = generate(low,i-1);
         vector <TreeNode*> rightSubtree = generate(i+1,high);
         int current = i;
         for(int j = 0;j<leftSubtree.size();j++){
            for(int k =0;k<rightSubtree.size();k++){
               TreeNode* currentNode = new TreeNode(current);
               currentNode->left = leftSubtree[j];
               currentNode->right = rightSubtree[k];
               temp.push_back(currentNode);
            }
         }
      }
      return temp;
   }
   vector<TreeNode*> generateTrees(int n) {
      if(!n){
         vector <TreeNode*> r;
         return r;
      }
      return generate(1,n) ;
   }
};
main(){
   Solution ob;
   vector<TreeNode*> v = ob.generateTrees(3);
   for(int i = 0; i<v.size(); i++)
      tree_level_trav(v[i]);
}

실행 결과

입력:

출력:

[1, 2, 3]
[1, 3, 2]
[2, 1, 3]
[3, 1, 2]
[3, 2, 1]

복잡도 분석

생성되는 트리의 총 개수는 카탈란 수(Catalan number)에 해당하며, 시간 복잡도와 공간 복잡도 모두 트리 개수에 비례하여 증가합니다. 따라서 n이 커질수록 결과의 수가 급격히 늘어나므로, 실제 코딩 테스트에서는 n의 범위를 확인하는 것이 중요합니다.