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C++로 구현하는 가장 깊은 노드를 모두 포함하는 최소 서브트리 찾기

문제 개요

루트가 root인 이진 트리가 주어졌다고 가정해 보겠습니다. 각 노드의 깊이(depth)는 루트까지의 최단 거리를 의미하며, 전체 트리에서 가장 큰 깊이를 가진 노드를 가장 깊은 노드(deepest node)라고 부릅니다. 또한 어떤 노드의 서브트리(subtree)란 그 노드 자신과 모든 자손 노드들의 집합을 말합니다.

이 문제의 목표는 가장 깊은 노드들을 모두 포함하는 서브트리 중 가장 작은 것, 즉 그 서브트리의 루트가 되는 노드를 찾는 것입니다.

예를 들어 다음과 같은 트리가 있다고 해봅시다.

C++로 구현하는 가장 깊은 노드를 모두 포함하는 최소 서브트리 찾기

이때 가장 깊은 노드들을 모두 포함하는 서브트리는 다음과 같습니다.

C++로 구현하는 가장 깊은 노드를 모두 포함하는 최소 서브트리 찾기

풀이 접근 방식

이 문제는 후위 순회(post-order traversal) 방식의 재귀적 DFS로 깔끔하게 해결할 수 있습니다. 각 노드마다 왼쪽과 오른쪽 서브트리의 깊이를 비교하여, 더 깊은 쪽의 결과를 위로 올려 보내면 됩니다. 양쪽 깊이가 같다면 현재 노드가 바로 정답 서브트리의 루트가 됩니다.

구체적인 알고리즘 단계는 다음과 같습니다.

  • solve()라는 메서드를 정의하고, 이 메서드에 root를 입력으로 전달합니다.
  • root가 null이면 (null, 0) 쌍을 반환합니다.
  • l := solve(root의 왼쪽 자식), r := solve(root의 오른쪽 자식)으로 재귀 호출합니다.
  • l의 두 번째 값(깊이)이 r의 두 번째 값보다 크면, (l의 첫 번째 값, 1 + l의 두 번째 값) 쌍을 반환합니다.
  • 반대로 l의 두 번째 값이 r의 두 번째 값보다 작으면, (r의 첫 번째 값, 1 + r의 두 번째 값) 쌍을 반환합니다.
  • 두 깊이가 같다면 (root, l의 두 번째 값 + 1) 쌍을 반환합니다. 이 경우 현재 노드가 정답이 됩니다.
  • 메인 메서드에서 solve(root)를 호출한 뒤, 결과 쌍의 첫 번째 값(노드 포인터)을 반환합니다.

C++ 구현 예제

아래 코드를 통해 실제 동작 방식을 더 잘 이해해 보겠습니다.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class TreeNode{
   public:
      int val;
      TreeNode *left, *right;
      TreeNode(int data){
         val = data;
         left = right = NULL;
    }
   };
   void insert(TreeNode **root, int val){
      queue<TreeNode*> q;
      q.push(*root);
      while(q.size()){
         TreeNode *temp = q.front();
         q.pop();
         if(!temp->left){
            if(val != NULL)
               temp->left = new TreeNode(val);
            else
               temp->left = new TreeNode(0);
            return;
         } else {
            q.push(temp->left);
         }
         if(!temp->right){
            if(val != NULL)
               temp->right = new TreeNode(val);
            else
               temp->right = new TreeNode(0);
            return;
         } else {
            q.push(temp->right);
         }
     }
}
TreeNode *make_tree(vector<int> v){
   TreeNode *root = new TreeNode(v[0]);
   for(int i = 1; i<v.size(); i++){
      insert(&root, v[i]);
   }
   return root;
}
void tree_level_trav(TreeNode*root){
   if (root == NULL) return;
   cout << "[";
   queue<TreeNode *> q;
   TreeNode *curr;
   q.push(root);
   q.push(NULL);
   while (q.size() > 1) {
      curr = q.front();
      q.pop();
      if (curr == NULL){
         q.push(NULL);
      } else {
         if(curr->left)
         q.push(curr->left);
         if(curr->right)
            q.push(curr->right);
         if(curr->val == 0 || curr == NULL){
            cout << "null" << ", ";
         } else {
            cout << curr->val << ", ";
         }
      }
   }
   cout << "]"<<endl;
}
class Solution {
   public:
   pair <TreeNode*, int> solve(TreeNode* root){
      if(!root || root->val == 0) return {NULL, 0};
      pair <TreeNode*, int> L = solve(root->left);
      pair <TreeNode*, int> R = solve(root->right);
      if(L.second > R.second)return {L.first, L.second + 1};
      else if(L.second < R.second) return {R.first, R.second + 1};
      return {root, L.second + 1};
   }
   TreeNode* subtreeWithAllDeepest(TreeNode* root) {
      return solve(root).first;
   }
};
main(){
   vector<int> v = {3,5,1,6,2,0,8,NULL,NULL,7,4};
   TreeNode *root = make_tree(v);
   Solution ob;
   tree_level_trav(ob.subtreeWithAllDeepest(root)) ;
}

입력

{3,5,1,6,2,0,8,NULL,NULL,7,4}

출력

[2,7,4]

동작 원리 정리

solve() 함수는 각 노드에 대해 (정답 후보 노드, 해당 서브트리의 최대 깊이) 쌍을 반환합니다. 리프 노드까지 내려간 뒤 올라오면서 양쪽 자식의 깊이를 비교하는데, 한쪽이 더 깊으면 그쪽 후보를 그대로 승계하고, 깊이가 같으면 현재 노드가 새로운 후보가 됩니다. 이렇게 하면 가장 깊은 노드들이 좌우로 나뉘어 있는 지점, 즉 두 깊이가 처음 같아지는 공통 조상이 자연스럽게 정답이 됩니다.

시간 복잡도는 트리의 모든 노드를 한 번씩 방문하므로 O(N), 재귀 호출 스택을 고려한 공간 복잡도 역시 최악의 경우 O(N)입니다.