완전 이진 트리 삽입기란?
완전 이진 트리(Complete Binary Tree)는 마지막 레벨을 제외한 모든 레벨이 가득 차 있고, 노드들이 최대한 왼쪽으로 치우쳐 배치된 이진 트리입니다. 이 문제에서는 주어진 완전 이진 트리로 초기화되는 CBTInserter라는 자료구조를 작성해야 하며, 다음 세 가지 연산을 지원해야 합니다.
- CBTInserter(TreeNode root) : 루트 노드가 주어진 트리로 자료구조를 초기화합니다.
- CBTInserter.insert(int v) : node.val = v인 새 TreeNode를 트리에 삽입하여 트리가 계속 완전 이진 트리 상태를 유지하도록 하고, 삽입된 노드의 부모 노드 값을 반환합니다.
- CBTInserter.get_root() : 트리의 루트(헤드) 노드를 반환합니다.
동작 예시
예를 들어 트리를 [1,2,3,4,5,6]으로 초기화한 뒤 7과 8을 차례로 삽입하고 트리를 조회하면, 출력은 3, 4, [1,2,3,4,5,6,7,8]이 됩니다. 첫 번째 insert(7)는 7을 노드 3 아래에 삽입하므로 3을 반환하고, 두 번째 insert(8)는 8을 노드 4 아래에 삽입하므로 4를 반환하는 것입니다.
해결 접근 방법
핵심 아이디어는 큐(Queue)를 활용하여 삽입 가능한 위치(자식이 하나만 있는 노드 또는 자식이 없는 노드)를 추적하는 것입니다. 단계별로 살펴보겠습니다.
- 큐 q와 멤버 변수 root를 선언합니다.
- 생성자에서는 주어진 트리를 순회하며 삽입 후보 노드들을 큐에 채웁니다.
- root를 멤버 변수에 저장하고, root를 q에 삽입합니다.
- 무한 루프를 돌며 현재 노드(root)의 왼쪽 자식이 존재하면 q에 추가하고, 없으면 루프를 종료합니다.
- 오른쪽 자식이 존재하면 q에 추가한 뒤 맨 앞 노드를 제거하고, 다음 후보 노드를 확인합니다. 없으면 루프를 종료합니다.
- insert 메서드는 값 v를 인자로 받습니다.
- parent := q의 맨 앞 요소로 설정하고, 값 v를 가진 새 노드 temp를 만들어 q에 삽입합니다.
- parent의 왼쪽 자식이 비어 있다면 parent->left = temp로 설정합니다. 그렇지 않다면 q에서 맨 앞 요소를 제거하고, temp를 parent의 오른쪽 자식으로 연결합니다.
- 부모 노드의 값을 반환합니다.
- get_root() 메서드는 저장해 둔 root를 그대로 반환합니다.
이 방식 덕분에 insert 연산은 O(1) 시간에 수행되며, 트리의 완전성이 항상 보장됩니다.
C++ 구현 예제
아래 구현을 통해 더 자세히 이해해 보겠습니다.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class TreeNode{
public:
int val;
TreeNode *left, *right;
TreeNode(int data){
val = data;
left = NULL;
right = NULL;
}
};
void insert(TreeNode **root, int val){
queue<TreeNode*> q;
q.push(*root);
while(q.size()){
TreeNode *temp = q.front();
q.pop();
if(!temp->left){
if(val != NULL)
temp->left = new TreeNode(val);
else
temp->left = new TreeNode(0);
return;
} else {
q.push(temp->left);
}
if(!temp->right){
if(val != NULL)
temp->right = new TreeNode(val);
else
temp->right = new TreeNode(0);
return;
} else {
q.push(temp->right);
}
}
}
TreeNode *make_tree(vector<int> v){
TreeNode *root = new TreeNode(v[0]);
for(int i = 1; i<v.size(); i++){
insert(&root, v[i]);
}
return root;
}
void tree_level_trav(TreeNode*root){
if (root == NULL) return;
cout << "[";
queue<TreeNode *> q;
TreeNode *curr;
q.push(root);
q.push(NULL);
while (q.size() > 1) {
curr = q.front();
q.pop();
if (curr == NULL){
q.push(NULL);
} else {
if(curr->left)
q.push(curr->left);
if(curr->right)
q.push(curr->right);
if(curr == NULL || curr->val == 0){
cout << "null" << ", ";
} else{
cout << curr->val << ", ";
}
}
}
cout << "]"<<endl;
}
class CBTInserter {
public:
queue <TreeNode*> q;
TreeNode* root;
CBTInserter(TreeNode* root) {
this->root = root;
q.push(root);
while(1){
if(root->left){
q.push(root->left);
}
else break;
if(root->right){
q.push(root->right);
q.pop();
root = q.front();
}
else break;
}
}
int insert(int v) {
TreeNode* parent = q.front();
TreeNode* temp = new TreeNode(v);
q.push(temp);
if(!parent->left){
parent->left = temp;
} else {
q.pop();
parent->right = temp;
}
return parent->val;
}
TreeNode* get_root() {
return root;
}
};
main(){
vector<int> v = {1,2,3,4,5,6};
TreeNode *root = make_tree(v);
CBTInserter ob(root);
cout << (ob.insert(7)) << endl;
cout << (ob.insert(8)) << endl;
tree_level_trav(ob.get_root());
}입력
트리를 [1,2,3,4,5,6]으로 초기화한 뒤, 7과 8을 삽입하고 루트를 조회
출력
3 4 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
마무리
이처럼 큐를 사용하면 완전 이진 트리의 성질을 유지하면서 새 노드를 삽입할 위치를 손쉽게 관리할 수 있습니다. 생성자에서 삽입 후보 노드들을 미리 큐에 정리해 두기 때문에, insert 연산은 상수 시간(O(1))에 처리되고 get_root 역시 즉시 루트를 반환할 수 있습니다.