이 문제에서 우리는 시리즈 1, 3, 6, 10 … (삼각수)의 요소의 n이 주어진 숫자 n이 주어집니다. 우리의 임무는 급수의 합을 계산하는 프로그램을 만드는 것입니다.
합을 계산하기 전에 삼각수에 대해 살펴보겠습니다.
삼각형 숫자는 삼각형의 형태로 나타낼 수 있는 숫자입니다.
삼각형은 첫 번째 행에 점이 1개, 두 번째 행에 점이 2개 있는 방식으로 형성됩니다.
예시
문제를 이해하기 위해 예를 들어 보겠습니다.
입력
n = 4
출력
설명 - 합계 =T1 + T2 + T3 + T4 =1 + 3 + 6 + 10 =20
이 문제를 해결하는 간단한 방법은 n개의 삼각형 수를 모두 찾는 것입니다. 그리고 그것들을 sum 변수에 하나씩 추가합니다.
알고리즘
Initialise sum = 0. Step 1: loop for i = 0 to n. And follow steps 2 and 3 Step 2: for each value of i, calculate the triangular numbers using the formula, t[i] = ∑ i = i*(i+1)/2. Step 3: Update sum value, sum += t[i]. Step 4: return sum.
예시
솔루션의 작동을 설명하는 프로그램,
#include <iostream>
using namespace std;
int calcSeriesSum(int n) {
int sum = 0;
for (int i=1; i<=n; i++)
sum += i*(i+1)/2;
return sum;
}
int main() {
int n = 6;
cout<<"Sum of the series 1, 3, 6, 10 ... (Triangular Numbers) is "<<calcSeriesSum(n);
return 0;
} 출력
Sum of the series 1, 3, 6, 10 ... (Triangular Numbers) is 56
이것은 O(n), 시간 복잡도가 필요하므로 가장 효과적인 솔루션이 아닙니다.
더 효과적인 솔루션은 합계에 대한 직접 공식을 사용하는 것입니다.
Ti가 i번째 삼각수인 경우. 그럼
T1 =1
T2 =3
T3 =6
Tn =n*(n+1) /2
모든 삼각수의 합은
sum = 1 + 3 + 6 + 10 + … sum = T1 + T2 + T3 + … + Tn sum = ∑ (Ti) , i -> 0 to n sum = ∑ (n)(n+1)/2 sum = ½ ∑ n2 + n sum = ½ ∑n^2 + ∑ n sum = ½ [ (n*(n+1)*(2n+1)/6) + (n*(n+1)/2) ] sum = ½ (n*(n+1)/2)*[ (2n+1)/3 + 1 ] sum = ¼ [n*(n+1)]*[(2n+1+3)/3] sum = ¼ [n*(n+1)]*[(2n+4)/3] sum = ¼ [n*(n+1)]*[2(n+2)/3] sum= ⅙ [n*(n+1)*(n+2)]
이것은 삼각형 수의 합에 대한 일반 공식입니다.
예시
솔루션의 작동을 설명하는 프로그램,
#include <iostream>
using namespace std;
int calcSeriesSum(int n) {
return ( ( n*(n + 1)*(n + 2) )/6);
}
int main() {
int n = 6;
cout<<"Sum of the series 1, 3, 6, 10 ... (Triangular Numbers) is "<<calcSeriesSum(n);
return 0;
} 출력
Sum of the series 1, 3, 6, 10 ... (Triangular Numbers) is 56