이진 탐색 트리(Binary Search Tree, BST)와 하나의 목표(target) 값이 주어졌을 때, 주어진 BST에서 목표값에 가장 가까운 k개의 값을 찾아야 합니다. 이때 목표값은 부동소수점(floating-point) 숫자입니다. k는 항상 유효하며, k ≤ 전체 노드 수라고 가정할 수 있습니다.
예를 들어, 아래와 같은 트리가 있다고 가정해 보겠습니다.
target = 3.714286, k = 2라면 출력 결과는 [4, 3]이 됩니다.
접근 방법
이 문제는 두 개의 스택을 활용하여 효율적으로 해결할 수 있습니다. 하나는 목표값보다 작은 값을 관리하는 스택(smaller), 다른 하나는 목표값보다 크거나 같은 값을 관리하는 스택(larger)입니다. 각 스택은 중위 순회(in-order traversal) 방식으로 후보 노드들을 저장하므로, 항상 목표값에 가장 가까운 후보부터 꺼내 비교할 수 있습니다.
pushSmaller() 함수
pushSmaller() 함수는 노드(node), 스택(st), 목표값(target)을 매개변수로 받습니다.
- node가 존재하는 동안 반복합니다.
- node의 값이 target보다 작으면:
- node를 st에 삽입한 뒤, node를 오른쪽 자식으로 이동합니다.
- 그렇지 않으면 node를 왼쪽 자식으로 이동합니다.
pushLarger() 함수
pushLarger() 함수 역시 노드(node), 스택(st), 목표값(target)을 매개변수로 받습니다.
- node가 존재하는 동안 반복합니다.
- node의 값이 target보다 크거나 같으면:
- node를 st에 삽입한 뒤, node를 왼쪽 자식으로 이동합니다.
- 그렇지 않으면 node를 오른쪽 자식으로 이동합니다.
메인 알고리즘
- 결과를 저장할 배열 ret을 정의합니다.
- 스택 smaller와 larger를 각각 정의합니다.
- pushLarger(root, larger, target)과 pushSmaller(root, smaller, target)을 호출하여 초기 후보 노드를 채웁니다.
- k번 반복하면서 매 단계마다 k를 감소시킵니다.
- smaller가 비어 있지 않고, (larger가 비어 있거나 |target − smaller.top().val| < |target − larger.top().val|)인 경우:
- curr = smaller.top()을 꺼내고, ret에 curr.val을 추가한 뒤, pushSmaller(curr.left, smaller, target)을 호출합니다.
- 그렇지 않으면:
- curr = larger.top()을 꺼내고, ret에 curr.val을 추가한 뒤, pushLarger(curr.right, larger, target)을 호출합니다.
반복이 끝나면 ret을 반환합니다. 이 방법의 시간 복잡도는 O(log n + k)로, 트리의 균형이 잡혀 있을 때 매우 효율적입니다.
구현 예제
더 나은 이해를 위해 다음 C++ 구현을 살펴보겠습니다.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void print_vector(vector<auto> v){
for(int i = 0; i<v.size(); i++){
cout << v[i] << ", ";
}
cout << "]"<<endl;
}
class TreeNode{
public:
int val;
TreeNode *left, *right;
TreeNode(int data){
val = data;
left = NULL;
right = NULL;
}
};
void insert(TreeNode **root, int val){
queue<TreeNode*> q;
q.push(*root);
while(q.size()){
TreeNode *temp = q.front();
q.pop();
if(!temp->left){
if(val != NULL)
temp->left = new TreeNode(val);
else
temp->left = new TreeNode(0);
return;
}
else{
q.push(temp->left);
}
if(!temp->right){
if(val != NULL)
temp->right = new TreeNode(val);
else
temp->right = new TreeNode(0);
return;
}
else{
q.push(temp->right);
}
}
}
TreeNode *make_tree(vector<int> v){
TreeNode *root = new TreeNode(v[0]);
for(int i = 1; i<v.size(); i++){
insert(&root, v[i]);
}
return root;
}
class Solution {
public:
vector<int> closestKValues(TreeNode* root, double target, int k){
vector<int> ret;
stack<TreeNode*> smaller;
stack<TreeNode*> larger;
pushLarger(root, larger, target);
pushSmaller(root, smaller, target);
while (k--) {
if (!smaller.empty() && (larger.empty() || (abs(target - smaller.top()->val) < abs(target - larger.top()->val)))) {
TreeNode* curr = smaller.top();
smaller.pop();
ret.push_back(curr->val);
pushSmaller(curr->left, smaller, target);
}
else {
TreeNode* curr = larger.top();
larger.pop();
ret.push_back(curr->val);
pushLarger(curr->right, larger, target);
}
}
return ret;
}
void pushSmaller(TreeNode* node, stack <TreeNode*>& st, double target){
while (node) {
if (node->val < target) {
st.push(node);
node = node->right;
}
else {
node = node->left;
}
}
}
void pushLarger(TreeNode* node, stack <TreeNode*>& st, double target){
while (node) {
if (node->val >= target) {
st.push(node);
node = node->left;
}
else
node = node->right;
}
}
};
main(){
Solution ob;
vector<int> v = {4,2,5,1,3};
TreeNode *root = make_tree(v);
print_vector(ob.closestKValues(root, 3.7142, 2));
}입력
{4,2,5,1,3}, 3.7142, 2출력
[4, 3]