그룹, 고리 및 필드는 추상 대수 또는 현대 대수라고 하는 수학 한 분야의 중요한 요소입니다. 추상 대수학에서는 요소의 집합과 관련이 있으며 대수적으로 작동할 수 있습니다. 즉, 여러 가지 방법으로 집합의 두 요소를 결합할 수 있으며 집합의 세 번째 요소를 얻을 수 있습니다.
그룹
그룹(G)은 {G,∙}로 표시됩니다. 4가지 성질을 만족하는 이항연산 ' ∙ '을 갖는 원소들의 집합이다. 그룹의 속성은 다음과 같습니다 -
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폐쇄 − a와 b가 G의 원소이면 c =a ∙ b도 집합 G의 원소입니다. 이것은 집합의 두 원소에 대한 연산을 사용한 결과가 집합의 다른 원소임을 정의할 수 있습니다.
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연관성 − 만약 a, b, c가 G의 원소라면 (a ∙ b) ∙ c =a ∙ (b ∙ c), 2개 이상의 원소에 대해 연산을 사용할 수 있는 순서대로 실체가 없음을 의미합니다.
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신원 − G의 모든 a에 대해 e ∙ a =a ∙ e =a를 포함하는 G의 요소 e가 발생합니다.
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역 − G의 각 a에 대해 a ∙ a′ =a′ ∙ a =e가 되도록 의 역함수로 알려진 요소 a'가 발생합니다.
그룹은 가환성의 추가 속성 하나 이상 다음 네 가지 속성을 충족하는 경우 아벨 그룹입니다.
가환성 − G의 모든 a와 b에 대해 a ∙ b =b ∙ a가 있습니다.
링 − 링 R은 {R, +, x}로 표시됩니다. R의 모든 a, b, c에 대해 다음 공리가 유지되는 것을 포함하여 덧셈 및 곱셈으로 알려진 두 개의 이진 연산이 있는 요소 집합입니다. -
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R은 A1 내지 A5의 성질을 만족하는 덧셈에 관한 아벨기이다. 가산기법에서는 항등원소를 0으로, 역행렬을 -a로 나타낸다.
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(M1):곱셈에서 닫힘 − 및 b가 R에 속하면 ab도 R에 속합니다.
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(M2):곱셈의 연관성 - R의 모든 a, b, c에 대해 a(bc)=(ab)c.
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(M3):분배 법칙 -
a(b+c)=ab + ac R의 모든 a, b, c에 대해
(a+b)c=ac+bc R의 모든 a, b, c에 대해
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(M4):곱셈의 가환성 - ab=ba는 R의 모든 a, b에 대한 것입니다.
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(M5):승법 항등 − R의 모든 a에 대해 a1=1a를 포함하는 R의 요소 1이 있습니다.
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(M6):0의 제수 없음 - R에서 a, b가 있고 ab =0이면 a =0 또는 b =0입니다.
필드 − 필드 F는 {F, +, x}로 표시됩니다. F의 모든 a, b, c에 대해 다음 공리가 유지되는 것을 포함하여 덧셈과 곱셈으로 알려진 두 가지 이진 연산이 있는 요소 집합입니다. -
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F1은 F가 공리 A1~A5 및 M1~M6을 충족하는 정수 영역입니다.
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(M7):역 곱셈 − 0을 제외한 F의 각 a에 대해 a −1 요소가 있습니다. F에서 aa −1 =(a −1 )a=1.