이진 변수의 기본 개념
이진 변수(binary variable)는 0 또는 1과 같이 단 두 가지 상태만 가지는 변수를 말합니다. 여기서 0은 해당 변수가 '없음(absent)'을 의미하고, 1은 '있음(present)'을 의미합니다.
예를 들어 환자 정보를 나타내는 '흡연 여부(smoker)'라는 변수가 있다고 가정해 봅시다. 값이 1이면 해당 환자가 흡연자임을, 0이면 흡연하지 않음을 나타냅니다.
주의할 점은, 이진 변수를 마치 구간 척도(interval-scaled) 변수처럼 다루면 군집화(clustering) 결과가 왜곡될 수 있다는 것입니다. 따라서 이진 데이터에 적합한 방법론을 사용하여 비유사성(dissimilarity)을 계산하는 것이 필수적입니다.
2×2 분할표를 이용한 비유사성 계산
이진 데이터로부터 비유사성 행렬(dissimilarity matrix)을 구하는 대표적인 방법 중 하나는 분할표(contingency table)를 활용하는 것입니다. 모든 이진 변수의 가중치가 동일하다고 가정하면, 두 객체 i와 j 사이의 관계를 다음과 같은 2×2 분할표로 정리할 수 있습니다.
- q: 객체 i와 j 모두에서 값이 1인 변수의 개수
- r: 객체 i에서는 1이지만 객체 j에서는 0인 변수의 개수
- s: 객체 i에서는 0이지만 객체 j에서는 1인 변수의 개수
- t: 객체 i와 j 모두에서 값이 0인 변수의 개수
전체 변수의 개수 p는 p = q + r + s + t로 표현됩니다.
대칭 이진 변수와 비대칭 이진 변수
대칭 이진 변수(Symmetric Binary Variable)
두 상태가 동등하게 가치 있고 동일한 가중치를 지니는 경우, 그 이진 변수를 대칭(symmetric)이라고 합니다. 즉, 어떤 결과를 0으로 코딩하고 어떤 결과를 1로 코딩할지에 대한 선호가 없습니다. 이러한 대칭 이진 변수에 기반한 비유사성을 대칭 이진 비유사성(symmetric binary dissimilarity)이라고 부릅니다.
비대칭 이진 변수(Asymmetric Binary Variable)
반면 두 상태의 결과가 동등하게 중요하지 않은 경우에는 비대칭(asymmetric) 이진 변수라고 합니다. 질병 검사의 양성·음성 판정이 대표적인 예입니다. 관례상 더 중요한 결과, 일반적으로 가장 드문 결과를 1로 코딩하고(예: HIV 양성), 나머지를 0으로 코딩합니다(예: HIV 음성).
비대칭 이진 비유사성과 자카드 계수
두 개의 비대칭 이진 변수에서는 두 객체가 모두 1인 경우(양성 일치, positive match)가 모두 0인 경우(음성 일치, negative match)보다 훨씬 중요하게 취급됩니다. 그래서 이런 변수들은 마치 하나의 상태만 있는 것처럼 다뤄집니다.
이렇게 비대칭 이진 변수에 기반한 비유사성을 비대칭 이진 비유사성(asymmetric binary dissimilarity)이라 하며, 음성 일치의 개수 t는 중요하지 않다고 간주되어 계산에서 제외됩니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{d(i,\:j)=\:\frac{r+s}{q+r+s}}$$
또한 비유사성이 아닌 유사성(similarity)의 개념을 사용하여 거리를 계산할 수도 있습니다. 객체 i와 j 사이의 비대칭 이진 유사성 sim(i, j)은 다음과 같이 구합니다.
$$\mathrm{sim(i,\:j)=\:\frac{q}{q+r+s}=1-d(i,j)}$$
여기서 구해진 유사성 계수 sim(i, j)를 자카드 계수(Jaccard coefficient)라고 부르며, 데이터 마이닝과 정보 검색 분야에서 널리 활용되는 유사도 지표입니다.