Prim의 최소 스패닝 트리 알고리즘

연결된 그래프 G(V, E)가 있고 모든 모서리에 대한 가중치 또는 비용이 제공됩니다. Prim의 알고리즘은 그래프 G에서 최소 스패닝 트리를 찾습니다.

그것은 성장하는 나무 접근 방식입니다. 이 알고리즘은 트리를 시작하기 위해 시드 값이 필요합니다. 시드 정점이 성장하여 전체 트리를 형성합니다.

문제는 두 세트를 사용하여 해결됩니다. 한 세트는 이미 선택된 노드를 보유하고 다른 세트는 아직 고려되지 않은 항목을 보유합니다. seed vertex에서 최소 edge cost를 기준으로 인접한 vertex를 취하므로 노드를 하나씩 취하여 트리를 성장시킵니다.

이 문제의 시간 복잡도는 O(V^2)입니다. 여기서 V는 정점의 수입니다.

입력 및 출력

Input:
The adjacency list:

Output:
(0)---(1|1)  (0)---(2|3)  (0)---(3|4)
(1)---(0|1)  (1)---(4|2)
(2)---(0|3)
(3)---(0|4)
(4)---(1|2)  (4)---(5|2)
(5)---(4|2)  (5)---(6|3)
(6)---(5|3)

알고리즘

prims(g: Graph, t: tree, start)

입력 - 그래프 g, 빈 트리 및 'start'라는 이름의 시드 정점

출력 - 가장자리를 추가한 후의 트리입니다.

Begin
   define two sets as usedVert, unusedVert
   usedVert[0] := start and unusedVert[0] := φ

   for all vertices except start do
      usedVert[i] := φ
      unusedVert[i] := i    //add all vertices in unused list
   done

   while number of vertices in usedVert ≠ V do    //V is number of total nodes
      min := ∞
      for all vertices of usedVert array do
         for all vertices of the graph do
            if min > cost[i,j] AND i ≠ j then
               min := cost[i,j]
               ed := edge between i and j, and cost of ed := min
         done
      done

      unusedVert[destination of ed] := φ
      add edge ed into the tree t
      add source of ed into usedVert
   done
End

예

#include<iostream>
#define V 7
#define INF 999
using namespace std;

//Cost matrix of the graph
int costMat[V][V] = {
   {0, 1, 3, 4, INF, 5, INF},
   {1, 0, INF, 7, 2, INF, INF},
   {3, INF, 0, INF, 8, INF, INF},
   {4, 7, INF, 0, INF, INF, INF},
   {INF, 2, 8, INF, 0, 2, 4},
   {5, INF, INF, INF, 2, 0, 3},
   {INF, INF, INF, INF, 4, 3, 0}
};

typedef struct {
   int u, v, cost;
}edge;

class Tree {
   int n;
   edge edges[V-1];    //as a tree has vertex-1 edges
   public:
      Tree() {
         n = 0;
      }

      void addEdge(edge e) {
         edges[n] = e;    //add edge e into the tree
         n++;
      }

      void printEdges() {    //print edge, cost and total cost
         int tCost = 0;

         for(int i = 0; i<n; i++) {
            cout << "Edge: " << char(edges[i].u+'A') << "--" << char(edges[i].v+'A');
            cout << " And Cost: " << edges[i].cost << endl;
            tCost += edges[i].cost;
         }
         cout << "Total Cost: " << tCost << endl;
      }
      friend void prims(Tree &tre, int start);
};

void prims(Tree &tr, int start) {
   int usedVert[V], unusedVert[V];
   int i, j, min, p;
   edge ed;

   //initialize
   usedVert[0] = start; p = 1;
   unusedVert[0] = -1;    //-1 indicates the place is empty

   for(i = 1; i<V; i++) {
      usedVert[i] = -1;    //all places except first is empty
      unusedVert[i] = i;   //fill with vertices
   }

   tr.n = 0;
   //get edges and add to tree
   while(p != V) {     //p is number of vertices in usedVert array
      min = INF;
      for(i = 0; i<p; i++) {
         for(j = 0; j<V; j++) {
            if(unusedVert[j] != -1) {
               if(min > costMat[i][j] && costMat[i][j] != 0) {
                  //find the edge with minimum cost
                  //such that u is considered and v is not considered yet
                  min = costMat[i][j];
                  ed.u = i; ed.v = j; ed.cost = min;
               }
            }
         }
      }
      unusedVert[ed.v] = -1;     //delete v from unusedVertex
      tr.addEdge(ed);
      usedVert[p] = ed.u; p++;   //add u to usedVertex
   }
}

main() {
   Tree tr;
   prims(tr, 0);    //starting node 0
   tr.printEdges();
}

출력

(0)---(1|1)  (0)---(2|3)  (0)---(3|4)
(1)---(0|1)  (1)---(4|2)
(2)---(0|3)
(3)---(0|4)
(4)---(1|2)  (4)---(5|2)
(5)---(4|2)  (5)---(6|3)
(6)---(5|3)