C++로 홀수 XOR을 만드는 쌍의 개수 효율적으로 세기

문제 개요

정수 배열이 주어졌을 때, 배열의 값들로 만들 수 있는 모든 쌍(pair) 중에서 두 원소에 대한 XOR 연산 결과가 홀수가 되는 쌍의 총 개수를 구하는 것이 이 글의 목표입니다.

XOR 연산의 진리표는 아래와 같습니다.

진리표에서 알 수 있듯이 XOR 연산은 두 비트가 서로 다를 때만 1을 반환합니다. 즉, 짝수(최하위 비트가 0)와 홀수(최하위 비트가 1)를 짝지으면 그 결과는 반드시 홀수가 됩니다. 이 성질이 바로 문제 해결의 핵심입니다.

입력 및 출력 예시

입력 − int arr[] = {2, 8, 1, 5, 11}

출력 − 홀수 XOR을 가지는 쌍의 개수 − 6

설명 −

위 표에서 볼드 처리된 값이 홀수인 경우로, 총 6개의 쌍이 조건을 만족합니다.

해결 접근 방법

• 쌍을 만들 정수 배열을 입력받습니다.

• 배열의 크기를 계산하고, 이후 처리를 위해 함수에 데이터를 전달합니다.

• 홀수 XOR 결과를 만드는 쌍의 개수를 저장할 임시 변수 count를 선언합니다.

• i를 0부터 배열 크기까지 순회하는 FOR 루프를 시작합니다.

• 루프 내부에서 arr[i] % 2 == 0이면 even_XOR을 1 증가시키고, 그렇지 않으면 odd_XOR을 1 증가시킵니다.

• count를 odd_XOR * even_XOR로 설정합니다. 짝수와 홀수를 하나씩 짝지은 조합만 홀수 XOR을 만들기 때문입니다.

• count를 반환합니다.

• 결과를 출력합니다.

이 방법은 모든 쌍을 직접 검사하는 O(n²) 완전 탐색 대신, 배열을 한 번만 순회하여 O(n) 시간 복잡도로 답을 구할 수 있다는 장점이 있습니다.

예제 코드

#include <iostream>
using namespace std;
//Count pairs with Odd XOR
int Odd_XOR(int arr[], int size){
   int count = 0;
   int odd_XOR = 0;
   int even_XOR = 0;
   for (int i = 0; i < size; i++){
      if (arr[i] % 2 == 0){
         even_XOR++;
      }
      else{
         odd_XOR++;
      }
   }
   count = odd_XOR * even_XOR;
   return count;
}
int main(){
   int arr[] = { 2, 6, 1, 4 };
   int size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
   cout<<"Count of pairs with Odd XOR are: "<<Odd_XOR(arr, size);
   return 0;
}

실행 결과

위 코드를 실행하면 다음과 같은 출력이 생성됩니다 −

Count of pairs with Odd XOR are: 3

배열 {2, 6, 1, 4}에는 짝수가 3개(2, 6, 4), 홀수가 1개(1) 있으므로, 3 × 1 = 3개의 쌍이 홀수 XOR 결과를 만족하게 됩니다.