C++의 Modulo p(Shanks Tonelli 알고리즘)에서 제곱근 찾기

이 문제에서는 두 개의 값 n과 소수 p가 주어집니다. 우리의 임무는 Modulo p에서 Square Root를 찾는 것입니다.

문제를 이해하기 위해 예를 들어 보겠습니다.

Input : n = 4, p = 11
Output : 9

솔루션 접근 방식

여기에서는 Tonelli-Shanks 알고리즘을 사용할 것입니다. .

토넬리-샹크스 알고리즘 모듈식 산술에서 x2 =n(mod p) 형식의 합동으로 값 x를 푸는 데 사용됩니다.

shank의 Tonelli 알고리즘을 사용하여 모듈로 제곱근을 찾는 알고리즘 -

1단계 − $(n^{((p-1)/2)})(mod\:p)$의 값을 구합니다. 값이 p -1이면 모듈러 제곱근이 불가능합니다.

2단계 − 그러면 p - 1 값을 (s * 2 ^e ). 여기서 s는 홀수이고 양수이고 e는 양수입니다.

3단계 − 값 q^((p-1)/2)(mod p) =-1

4단계 - 0보다 큰 m에 대해 루프를 사용하고 x의 값을 업데이트합니다.

b^(2^m) - 1(mod p)이 되도록 m을 찾으십시오. 여기서 0 <=m <=r-1.

M이 0이면 x를 반환하고 그렇지 않으면 값을 업데이트합니다.

x = x * (g^(2 ^ (r - m - 1))
b = b * (g^(2 ^ (r - m))
g = (g^(2 ^ (r - m - 1))
r = m

예시

솔루션의 작동을 설명하는 프로그램,

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int powerMod(int base, int exponent, int modulus) {
   int result = 1;
   base = base % modulus;
   while (exponent > 0) {
      if (exponent % 2 == 1)
      result = (result * base)% modulus;
      exponent = exponent >> 1;
      base = (base * base) % modulus;
   }
   return result;
}
int gcd(int a, int b) {
   if (b == 0)
   return a;
   else
   return gcd(b, a % b);
}
int orderValues(int p, int b) {
   if (gcd(p, b) != 1) {
      return -1;
   }
   int k = 3;
   while (1) {
      if (powerMod(b, k, p) == 1)
      return k;
      k++;
   }
}
int findx2e(int x, int& e) {
   e = 0;
   while (x % 2 == 0) {
      x /= 2;
      e++;
   }
   return x;
}
int calcSquareRoot(int n, int p) {
   if (gcd(n, p) != 1) {
      return -1;
   }
   if (powerMod(n, (p - 1) / 2, p) == (p - 1)) {
      return -1;
   }
   int s, e;
   s = findx2e(p - 1, e);
   int q;
   for (q = 2; ; q++) {
      if (powerMod(q, (p - 1) / 2, p) == (p - 1))
      break;
   }
   int x = powerMod(n, (s + 1) / 2, p);
   int b = powerMod(n, s, p);
   int g = powerMod(q, s, p);
   int r = e;
   while (1) {
      int m;
      for (m = 0; m < r; m++) {
         if (orderValues(p, b) == -1)
         return -1;
         if (orderValues(p, b) == pow(2, m))
         break;
      }
      if (m == 0)
      return x;
      x = (x * powerMod(g, pow(2, r - m - 1), p)) % p;
      g = powerMod(g, pow(2, r - m), p);
      b = (b * g) % p;
      if (b == 1)
      return x;
      r = m;
   }
}
int main() {
   int n = 3;
   int p = 13;
   int sqrtVal = calcSquareRoot(n, p);
   if (sqrtVal == -1)
      cout<<"Modular square root is not exist";
   else
      cout<<"Modular square root of the number is "<<sqrtVal;
}

출력

Modular square root of the number is 9